不等式的求解与证明教师：苗金利不等式的求解与证明一、知识热点及复习策略1．不等式是高中数学的工具。不等式性质是不等式理论的基本内容，应准确地认识、运用基本性质，并能举出适当反例，辨别真假命题。2．解不等式的要求较高，是求函数的定义域、值域、参数的取值范围的主要手段，与等式变形并列的“不等式的变形”是研究数学的基本手段之一，解不等式的试题中，含字母参数的不等式较多，需要对字母参数进行分类讨论，一般地，在不等式两端乘除一个含参数的式子时，需讨论这个式子的正、负、零情况；在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，需对它们的底数进行讨论；当解集的边界值含参数时，应对零值的顺序进行讨论。3．证明不等式是数学的重要课题，也是分析、解决其他数学问题的基础。证明不等式有三种基本方法：a（1）比较法：作差比较。根据ab−>⇔>0ab；作商比较，当b>0时，ab>⇔>1。比b较法是证明不等式的基本方法也是最主要的方法，有时根据题设可转化为等价问题的比较（如幂，方根等）（2）分析法：从求证的不等式出发，寻找使不等式成立的充分条件。对于思路不明显，感到无从下手的问题，宜用分析法探究证明途径。（3）综合法：从已知的不等式及题设条件出发，运用不等式性质及适当变形（恒等变形或不等变形）推导出要证明的不等式。二、例题分析1．解关于x的不等式(2x−+−>−∈1)axaxaR2(52)3(1)().2．已知不等式ax2++>bxc0的解为−31<<x，求不等式cx2+()6()0a++−<bxba的解.--版权所有北京天地精华教育科技有限公司www.jinghua.com咨询电话：400-650-77663．解关于x的不等式kx2−−++>∈2(k1)xk20(kR).xa−4．解关于x的不等式≤∈0(aR).xx2−−345．设abc,,∈R+，证明：abc++（1）abababann+≥n−−∗11+n()∈N；（2）aabcbc≥()abc3.--版权所有北京天地精华教育科技有限公司www.jinghua.com咨询电话：400-650-77666．设n∈N且n>1，求证：logn(n+1)>logn+1(n+2).117．设xy,0≥，求证：()()x++yxyxyyx2+≥+.248．已知a，b∈R+且a+b=1，求证：ax2+by2≥(ax+by)2.9．求函数值域：fx()=−+x12x+3.--版权所有北京天地精华教育科技有限公司www.jinghua.com咨询电话：400-650-7766不等式练习题1．下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（）A．p:ac+＞b+dq:a＞b且c＞dB．p:a＞1,b>1q:fx()=ax−>ba(0，且a≠1)的图象不过第二象限C．p:x=1q:x2=xD．p:a＞1q:fx()=>≠log(axa0，且a1)在(0,+∞)上为增函数2．“acbd+>+”是“ab>且cd>”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3．已知a，b，c，d为实数，且c＞d.则“a＞b”是“a－c＞b－d”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．01<<+ba，若关于x的不等式()x−b2＞()ax2的解集中的整数恰有3个，则（）A．−<10a<B．01<a<C．13<<aD．36<a<5．已知abcd,,,为实数，且cd>。则“ab>”是“acbd−>−”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C．充要条件D.既不充分也不必要条件w.w.w.k.s.5.u.c.o.m6．不等式x+−−≤31xaa2−3对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．(,1][4,)−∞−∪+∞B．(,2][5,)−∞−∪+∞w.w.w.k.s.5.u.c.o.mC．[1,2]D．(,1][2,)−∞∪+∞7．不等式2x−1−x−2<0的解集为..--版权所有北京天地精华教育科技有限公司www.jinghua.com咨询电话：400-650-7766参考答案（全）例题1．原式可化为(2aaxaa22+−53)>+−23(2aaxaa−+>+−1)(3)(3