习题十二1．写出下列级数的一般项：1111(1)357；xxxxx2(2)2242462468；a3a5a7a9(3)3579；1Un解：(1)2n1；nx2Un2n!!(2)；a2n1U1n1n(3)2n1；2．求下列级数的和：1xn1xnxn1(1)n1；n22n1n(2)n1；11123(3)555；1unxn1xnxn11112xn1xnxnxn1解：(1)11111Sn2xx1x1x2x1x2x2x311xn1xnxnxn11112xx1xnxn1从而11limSnn2xx12xx1因此，故级数的和为Un2n1n1n(2)因为nS32214332n5443n2n1n1nn2n112112n2n1从而limS12n12所以n，即级数的和为．111Sn5525n11n15511511n145(3)因为11limSn从而n4，即级数的和为4．3．判定下列级数的敛散性：n1n(1)n1；11111661111165n45n1(2)；222232n1n133n(3)3333；11115535n5(4)；S2132n1nnn11解：(1)limSn从而n，故级数发散．11111111S1n5661111165n45n111155n1(2)11limSn从而n5，故原级数收敛，其和为5．2q(3)此级数为3的等比级数，且|q|<1，故级数收敛．1UnlimU10n5n(4)∵，而n，故级数发散．4．利用柯西审敛原理判别下列级数的敛散性：1n1cosnxn2n(1)n1；(2)n1；1113n13n23n3(3)n1．解：(1)当P为偶数时，UUUn1n2npn2n3n4np11111n1n2n3np1111n1n2n3np111111n1n2n3np2np1np1n1当P为奇数时，UUUn1n2npn2n3n4np11111n1n2n3np1111n1n2n3np11111n1n2n3np1np1n1因而，对于任何自然数P，都有11UUUn1n2npn1n，1N1UUU∀ε>0，取，则当n>N时，对任何自然数P恒有n1n2np成立，由1n1n柯西审敛原理知，级数n1收敛．(2)对于任意自然数P，都有UUUn1n2npcosn1xcosn2xcosnpx2n12n22np1112n12n22np1112n1p21121112n2p12n1log2于是，∀ε>0(0<ε<1)，∃N=，当n>N时，对任意的自然数P都有UUUn1n2np成立，由柯西审敛原理知，该级数收敛．(3)取P=n，则UUUn1n2np1111113n113n123n1332n132n232n3113n1132n1n6n1