高等数学课后习题及解答1.设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c表示2u-3v.解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c）=5a-11b+7c.2.如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平行四边形.证如图8-1，设四边形ABCD中AC与BD交于M，已知AM=MC，DMMB.故ABAMMBMCDMDC.即AB//DC且|AB|=|DC|，因此四边形ABCD是平行四边形.3.把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各分点与点A连接.试以AB=c,BC=a表向量DA,DA,DA,DA.1234证如图8-2，根据题意知111BDa,DDa,DDa,151252351DDa,3451故DA=-（ABBD）=-a-c1152a-cDA=-（ABBD）=-2253DA=-（ABBD）=-a-c3354DA=-（ABBD）=-a-c.4454.已知两点M1（0，1，2）和M2（1，-1，0）.试用坐标表示式表示向量MM及-2MM.1212MM=（1-0，-1-1，0-2）=（1，-2，-2）.解12-2MM=-2（1，-2，-2）=（-2，4，4）.125.求平行于向量a=（6，7，-6）的单位向量.a解向量a的单位向量为，故平行向量a的单位向量为aa1676=（6，7，-6）=,,，a11111111a6272(6)211其中.6.在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？A（1，-2，3），B（2，3，-4），C（2，-3，-4），D（-2，-3，1）.解A点在第四卦限，B点在第五卦限，C点在第八卦限，D点在第三卦限.7.在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置：A（3，4，0），B（0，4，3），C（3，0，0），D（0，-1，0）.解在坐标面上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有一个为零，比如xOy面上的点的坐标为（x0，y0，0），xOz面上的点的坐标为（x0，0，z0），yOz面上的点的坐标为（0，y0，z0）.在坐标轴上的点的坐标，其特征是表示坐标的三个有序数中至少有两个为零，比如x轴上的点的坐标为（x0，0，0），y轴上的点的坐标为（0，y0，0），z轴上的点的坐标为（0，0，z0）.A点在xOy面上，B点在yOz面上，C点在x轴上，D点在y轴上.8.求点（a，b，c）关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标.解（1）点（a，b，c）关于xOy面的对称点（a，b，-c），为关于yOz面的对称点为（-a，b，c），关于zOx面的对称点为（a，-b，c）.（2）点（a，b，c）关于x轴的对称点为（a，-b，-c），关于y轴的对称点为（-a，b，-c），关于z轴的对称点为（-a，-b，c）.（3）点（a，b，c）关于坐标原点的对称点是（-a，-b，-c）.9.自点P（x，y，z）分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各0000垂足的坐标.解设空间直角坐标系如图8-3，根据题意，P0F为点P0关于xOz面的垂线，垂足F坐标为(x，0，z）；PD为点P关于xOy面的垂0000线，垂足D坐标为(x，y，0）；PE为点P关于yOz面的垂线，垂0000E(0yz).0oPAPxA(x0,0P00o0BPyB(0,y,0)PCPz0000C(0,0,z).010.PxyzzxOy00008-4P0zl.P0xOy.11.axOyxy.28-5AB=aOA=OB=a2222A(a00)B(0,a0C-a00D22222220-a0Ea0aF0aaG-a22222a0aH0-a.212.M4-35.22Mxd1=(3)534My4252d2=41Mzd=42(3)2255.313.yOzA312B4-2-2C051.yOzP0yzPABCPA32(y1)2(z2)2,PB42(y2)2(z2)2,22PC(y5)(z1).PAPBPC32(y1)(z2)242(y2)2(z2)22(y5)2(z1)29(y1)2(z2)216(y2)2(z2)2,9(y1)2(z2)2(y5)2(z1)2