一、复合(fùhé)函数的链式法则定理8.5设函数在点(x,y)处有偏导数，而函数z=f(u,v)在对应点(u,v)有连续(liánxù)偏导数，则复合函数在点(x,y)处的偏导数存在，且有下面的链式法则：公式(gōngshì)(1)给出z对x的偏导数是(2)公式(*)每项偏导数乘积因子的个数,等于该条路径中函数及中间变量的个数.如第一条路径,有一个(yīɡè)函数z和一个(yīɡè)中间变量u，因此，第一项就是两个偏导数与的乘积.由结构图看出自变量(biànliàng)x到达z的路径有三条，因此由三项组成.而每条路径上都有一个函数和一个中间变量，所以每项是函数对中间变量(biànliàng)及中间变量(biànliàng)对其相应自变量(biànliàng)的偏导数乘积，即2.设函数w=f(u,v)有连续偏导数(dǎoshù)，而都有偏导数(dǎoshù)，求复合函数的偏导数(dǎoshù).借助于结构图，可得3.设函数(hánshù)w=f(u,v)有连续偏导数，而可导，则复合函数(hánshù)只是自变量x的函数(hánshù)，求z对x的导数.在这里，函数z是通过二元函数z=f(u,v)而成为x的一元复合(fùhé)函数.因此，z对x的导数又称为z对x的全导数.对公式(5)应注意，由于z，u，v这三个函数都是x的一元函数，故对x的导数应写成，而不能写成.4.设函数(hánshù)z=f(x,v)有连续偏导数，有偏导数，求复合函数(hánshù)的偏导数.注意：这里的与是代表(dàibiǎo)不同的意义.其中是将函数中的y看作常量而对自变量x求偏导数，而是将函数f(x,v)中的v看常量而对第一个位置变量x求偏导数，所以两者的含意不同，为了避免混淆，将公式(6)右端第一项写，而不写为.例1设求解法2对于具体的二元复合函数(hánshù)，可将中间变量u，v，用x，y代入，则得到例2设，其中(qízhōng)f(u,v)为可微函数，求例3设，其中(qízhōng)f(u,v,w)为可微函数，求例4设求例5设求例6设z=f(x,xcosy)，其中(qízhōng)f(u,v)为可微函数，求例7设，求证：由于x，y，z在函数中的地位是相同的，所以(suǒyǐ)同样有二、全微分形式不变性如果u，v是中间变量，即，且这两个函数具有连续偏导数(dǎoshù)，则复合函数即，当u，v是中间变量时，(7)式也成立(chénglì).这就证明了全微分形式不变性.例如，例8求的全微分(wēifēn)及偏导数.例9设，其中f(u,v)有连续(liánxù)偏导数，求及感谢您的观看(guānkàn)！内容(nèiróng)总结