《数学分析》课程电子课件教师：杨勤民Tel:64253147Email:qmyang@ecust.edu.cnhttp://e-learning.ecust.edu.cn/able.acc2.web/sxfx.jpkc公共邮箱：m.a.ecust@gmail.com华东理工大学《数学分析》电子课件(§14.2)qmyang@ecust.edu.cn1/16§14.2求复合函数偏导数的链式法则一、链式法则二、复合函数的全微分华东理工大学《数学分析》电子课件(§14.2)qmyang@ecust.edu.cn2/16一、链式法则定理如果(1)uxyxyxy(,),(,)在点(,)可导(2)zfu(,)在对应点((xyxy,),(,))可微则复合函数zf((,),(,))xyxy在点(,)xy的两个偏导数存在,且zzuzxuxxzzuzyuyy华东理工大学《数学分析》电子课件(§14.2)qmyang@ecust.edu.cn3/16连线相乘，分线相加zfuv(,),其中u(,),xyv(,)xy的链式法则如图示uxzzuzvzxuxvxvyuxzzuzvzyuyvyvy华东理工大学《数学分析》电子课件(§14.2)qmyang@ecust.edu.cn4/16类似地，设u(x,y)、v(x,y)、ww(x,y)都在点(x,y)具有对x和y的偏导数，复合函数zfxyxywxy((,),(,),(,))在对应点(x,y)的两个偏导数存在，且可用下列公式计算：zzuzvzwuxuxvxwxxzvzzuzvzwyyuyvywyw华东理工大学《数学分析》电子课件(§14.2)qmyang@ecust.edu.cn5/16特别地zf(u,x,y)其中u(x,y)即zfxyxy((,),,),令vx,wy,vwv1,0,0,w1.xxyyzfufff,zu.xuxxyuyy区把zf[(x,y),x,y]把中zfuxy(,,)别的uy及看作不变类中的y看作不变而对而对x的偏导数似x的偏导数华东理工大学《数学分析》电子课件(§14.2)qmyang@ecust.edu.cn6/16uzx型v定理如果函数u(x)及v(x)都在点x可导函数zf(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数zf((),())xx在对应点x可导，且其导数可用下列公式计算dddzzuzv.dddxuxvx可推广到中间变量多于两个的情况:ddddzzuzvzw如ddddxuxvxwx华东理工大学《数学分析》电子课件(§14.2)qmyang@ecust.edu.cn7/16u22例1.已知zeuxyxyzzsin,,,求xy及.uu解zzuzxuxxexeysin2cos22exxyyxyxy2sin()cos()uxzzuzyuyyzuueyexsin2cosvy22eyxyxxyxy2sin()cos()偏导数zxzx的项数,等于链式图中从自变量到达的路径条数;每项都是若干个偏导数的乘积,每个偏导数都与路径中的一条线段相对应.华东理工大学《数学分析》电子课件(§14.2)qmyang@ecust.edu.cn8/16dz例2.设而zuvsint,uevt,cost,求.dtuzvt型tzz例3.设zfxxyf(),且具有一阶导数,求及.xyxzuy型华东理工大学《数学分析》电子课件(§14.2)qmyang@ecust.edu.cn9/16例4.设wfxyzxyzf(,),且具有二阶连续偏导数,ww2求及.xzx解令uxyz,vxyz;uxwy型则wfuv(,).vzff记f,f,1u2v22ffff12f11,f222,u2uvv22ff1二阶偏ff2f12f21