2024年高考数学真题试卷（北京卷）第一部分（选择题，共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.已知，则（）．A.B.C.D.3.圆的圆心到直线的距离为（）A.B.C.D.4.在的展开式中，的系数为（）A.B.C.D.5.设，是向量，则“”是“或”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.设函数.已知，，且的最小值为，则（）A.1B.2C.3D.47.生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（）A.B.C.D.1/148.如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（）.A.1B.2C.D.9.已知，是函数的图象上两个不同的点，则（）A.B.C.D.10.已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（）A.，B.，C.，D.，第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分。11.抛物线的焦点坐标为_______________．12.在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为_______________．13.若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为_______________．14.汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为，且斛量器的高为，则斗量器的高为_______________，升量器的高为_______________．15.设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论：①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素；2/14②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素；③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素；④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素.其中正确结论的序号是_______________.三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16.在中，内角的对边分别为，为钝角，，．16.1.求；16.2.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．17.如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，．17.1.若为线段中点，求证：平面．17.2.若平面，求平面与平面夹角的余弦值．18.某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：赔偿次数01234单数假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.18.1.估计一份保单索赔次数不少于2的概率；18.2.3/1419.已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为．19.1.求椭圆的方程及离心率；19.2.若直线BD的斜率为0，求t的值．20.设函数，直线是曲线在点处的切线．20.1.当时，求的单调区间.20.2.求证：不经过点.20.3.当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？（参考数据：，，）21.已知集合．给定数列，和序列，其中，对数列进行如下变换：将的第项均加1，其余项不变，得到的数列记作；将的第项均加1，其余项不变，得到数列记作；……；以此类推，得到，简记为．21.1.给定数列和序列，写出；21.2.是否存在序列，使得为，若存在，写出一个符合条件的；若不存在，请说明理由；21.3.若数列的各项均为正整数，且为偶数，求证：“存在序列，使得的各项都相等”的充要条件为“”．4/14