第五章相似矩阵及二次型1试用施密特法把下列向量组正交化(1)解根据施密特正交化方法(2)解根据施密特正交化方法2下列矩阵是不是正交阵:(1);解此矩阵的第一个行向量非单位向量,故不是正交阵(2)解该方阵每一个行向量均是单位向量且两两正交故为正交阵3设x为n维列向量xTx1令HE2xxT证明H是对称的正交阵证明因为HT(E2xxT)TE2(xxT)TE2(xxT)TE2(xT)TxTE2xxT所以H是对称矩阵因为HTHHH(E2xxT)(E2xxT)E2xxT2xxT(2xxT)(2xxT)E4xxT4x(xTx)xTE4xxT4xxTE所以H是正交矩阵4设A与B都是n阶正交阵证明AB也是正交阵证明因为AB是n阶正交阵故A1ATB1BT(AB)T(AB)BTATABB1A1ABE故AB也是正交阵5求下列矩阵的特征值和特征向量:(1);解故A的特征值为1(三重)对于特征值1由得方程(AE)x0的基础解系p1(111)T向量p1就是对应于特征值1的特征值向量.(2);解故A的特征值为102139对于特征值10由得方程Ax0的基础解系p1(111)T向量p1是对应于特征值10的特征值向量.对于特征值21,由得方程(AE)x0的基础解系p2(110)T向量p2就是对应于特征值21的特征值向量对于特征值39由得方程(A9E)x0的基础解系p3(1/21/21)T向量p3就是对应于特征值39的特征值向量(3).解故A的特征值为121341对于特征值121由得方程(AE)x0的基础解系p1(1001)Tp2(0110)T向量p1和p2是对应于特征值121的线性无关特征值向量对于特征值341由得方程(AE)x0的基础解系p3(1001)Tp4(0110)T向量p3和p4是对应于特征值341的线性无关特征值向量6设A为n阶矩阵证明AT与A的特征值相同证明因为|ATE||(AE)T||AE|T|AE|所以AT与A的特征多项式相同从而AT与A的特征值相同7设n阶矩阵A、B满足R(A)R(B)n证明A与B有公共的特征值有公共的特征向量证明设R(A)rR(B)t则rtn若a1a2anr是齐次方程组Ax0的基础解系显然它们是A的对应于特征值0的线性无关的特征向量类似地设b1b2bnt是齐次方程组Bx0的基础解系则它们是B的对应于特征值0的线性无关的特征向量由于(nr)(nt)n(nrt)n故a1a2anrb1b2bnt必线性相关于是有不全为0的数k1k2knrl1l2lnt使k1a1k2a2knranrl1b1l2b2lnrbnr0记k1a1k2a2knranr(l1b1l2b2lnrbnr)则k1k2knr不全为0否则l1l2lnt不全为0而l1b1l2b2lnrbnr0与b1b2bnt线性无关相矛盾因此0是A的也是B的关于0的特征向量所以A与B有公共的特征值有公共的特征向量8设A23A2EO证明A的特征值只能取1或2证明设是A的任意一个特征值x是A的对应于的特征向量则(A23A2E)x2x3x2x(232)x0因为x0所以2320即是方程2320的根也就是说1或29设A为正交阵且|A|1证明1是A的特征值证明因为A为正交矩阵所以A的特征值为1或1