基本能力題1.試作一坐標平面並在其上描出坐標為004231120320之點。解如右圖OABCDE為所求。2.若A32B10C24為三角形ABC的頂點求三邊長。解A32B10C24△ABC三邊長為AB???16425BC???9165CA???13637。3.已知一正方形的邊長為2且它的對角線正好在兩條坐標軸上請問此正方形的頂點坐標為何解此正方形對角線長為22中心為O四頂點為20022002如右圖。4.已知一平行四邊形中三個頂點的坐標為000213請問此平行四邊形第四個頂點的坐標為何有三解解如右圖平行四邊形第四頂點有三解P132Q132R123。R與Q對稱於原點即P15Q11R11。5.給定坐標平面上三點622112請說明必能找到另外一點使得這點和給定的三點形成菱形四邊等長的四邊形。試求第四點坐標。解設A62B21C12則AB???64165AC???491665由此可知有第四點Dab使四邊形ABCD形成菱形求法如下利用ab621221得ab936.寫出下列各直線的方程式1平行x軸且通過點32的直線L1。2平行y軸且通過點32的直線L2。3平行直線y4x且通過點32的直線L3。解1L1y2。2L2x3。3設L3y4xk因為L3通過點32所以212kk10故得L3y4x10。7.試證直線方程式中的兩種形式──斜截式與截距式。1若直線L的斜率為my截距為b則Lymxb。2若直線L的x截距為ay截距為b且ab≠0則Lxayb1。證1斜截式是點斜式的特例。直線L的y截距為b表L通過y軸上的點B0b又斜率為m由點斜式可求得L的方程式為Lybmx0即ymxb。2截距式是兩點式的特例。直線L的x截距為a表L通過x軸的點Aa0y截距為b表過點B0b由兩點式求得L的方程式為y0b00axa整理得Lxayb1。8.在坐標平面上描出下列兩條直線並且求出它們的交點。L12xy3L2xy6。如果L3xay4通過L1和L2的交點試求出a值。解聯立兩條直線L12xy3L2xy6的方程式解得L1與L2的交點P33。L1與L2的圖形如右圖L3xay4通過交點P33所以33a4a13。9.已知平行四邊形的兩邊分別在直線2x3y7x3y4上一頂點為55試求其他三個頂點的位置。解右圖是一個參考圖頂點A55不在L1及L2上。設C是L1與L2的交點則C點坐標為153。過A作L3//L1所以L3的方程式為2x3y25。設B是L2與L3的交點則B點坐標為7113。再利用B7113→C153與A55→D坐標差相同可得D13所以此平行四邊形其他三頂點為711315313。10.試判別下列各方程組是有唯一解或無解或有無限多組解1x4y515x4y20。2x3y717x3y5。30.2x0.3y0.1x1.5y0.5。解1無限多組解2無解3無限多組解。11.阿草有一塊三角形的菜園三頂點的位置是A31B15C22你能幫他算一算菜園的面積嗎1如何求“過A點的高與BC???邊”的交點D2用距離公式計算底邊BC???及高AD???的長。3△ABC的面積是多少平方單位解如圖A31B15C22。1直線BC的方程式為y55212x1即7x3y8………………①直線AD與BC???垂直所以AD←→的斜率為37。由點斜式知直線AD的方程式為3x7y16………………②聯立①②解出交點D的坐標為4296829。2BC???12252294958。AD???3429216829212913721332132958。3△ABC的面積12BC???AD???125813295813平方單位。挑戰題1.關於△ABC我們有下列的事實○1△ABC三邊上的中線共點此點稱為△ABC的重心。○2△ABC三邊上的中垂線共點此點稱為△ABC的外心。○3△ABC過三頂點的高共點此點稱為△ABC的垂心。設△ABC的三頂點為A33B15C60試利用上述事實完成下列兩小題1試求△ABC之重心、外心、垂心的坐標。解1AB???中點為11BC???中點為5252○1過A的中線為y3523523x3即11xy300。過C的中線為y1016x6即x5y60。上述兩個二元一次方程式有共同解x83y23故△ABC的重心為G8323。○2AB←→的斜率為2BC←→的斜率為57CA←→的斜率為1。AB???的中垂線為y112x1即x2y10。BC???的中垂線為y5275x52即7x5y50。上述兩個二元一次方程式有共同解x53y43故△ABC的外心為K5343。○3過A的高為y375x3即7x5y360。過B的高為y5x1即xy40。上述兩個二元一次方程式有共同解x143y23故△ABC的垂心為H14323。2△ABC的重心、外心、垂心是否共線用斜率檢驗解2GK←→的斜率為2323GK←→的斜率為4623。因為斜率相等故可知GKH三點共線。即△ABC