专题十切线的判定与性质的综合应用(针对四川中考与圆有关的证明、计算)1．(2017·眉山预测)如图，AB是⊙O的直径，CB是⊙O的弦，D是eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点，过点D作直线EF与BC垂直，交BC延长线于E点，且交BA延长线于F点．(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若tanB＝eq\f(\r(7),3)，BE＝6，求⊙O的半径．解：(1)连接OD，∵D是eq\o(AC,\s\up8(︵))的中点，∴∠AOD＝∠B，∴OD∥BC，∵EF⊥BE，∴∠E＝90°，∴∠ODF＝90°，∵OD为⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线(2)设⊙O的半径为r，则AO＝OB＝OD＝r，∵∠AOD＝∠B，tanB＝eq\f(\r(7),3)，∴DF＝eq\f(\r(7)r,3)，∵eq\f(EF,BE)＝eq\f(\r(7),3)，BE＝6，∴EF＝2eq\r(7)，又∵EF2＋BE2＝BF2，∴BF＝8，∵OD∥BC，∴△ODF∽△BEF，∴eq\f(OD,BE)＝eq\f(OF,BF)，∵OF＝BF－OB＝8－r，∴eq\f(r,6)＝eq\f(8－r,8)解得r＝eq\f(24,7)2．(导学号14952496)(2016·东营)如图，在△ABC中，以BC为直径的圆交AC于点D，∠ABD＝∠ACB.(1)求证：AB是圆的切线；(2)若点E是BC上一点，已知BE＝4，tan∠AEB＝eq\f(5,3)，AB∶BC＝2∶3，求圆的直径．解：(1)∵BC是直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ACB＋∠DBC＝90°.∵∠ABD＝∠ACB，∴∠ABD＋∠DBC＝90°，∴∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，∵BC为圆的直径，∴AB是圆的切线(2)在Rt△AEB中，tan∠AEB＝eq\f(5,3)，eq\f(AB,BE)＝eq\f(5,3)，即AB＝eq\f(5,3)BE＝eq\f(20,3)，在Rt△ABC中，eq\f(AB,BC)＝eq\f(2,3)，∴BC＝eq\f(3,2)AB＝10，∴圆的直径为103．(导学号14952497)(2017·内江预测)如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD＝BC，延长AD到E，且有∠EBD＝∠CAB.(1)求证：BE是⊙O的切线；(2)若BC＝eq\r(3)，AC＝5，求圆的直径AD及切线BE的长．解：(1)连接OB，∵BD＝BC，∴∠CAB＝∠BAD，∵∠EBD＝∠CAB，∴∠BAD＝∠EBD.∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，OA＝OB，∴∠BAD＝∠ABO，∴∠OBE＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABO＋∠OBD＝∠ABD＝90°，∵点B在⊙O上，∴BE是⊙O的切线(2)设圆的半径为R，连接CD交OB于点F，∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∵BC＝BD，∴OB⊥CD，∴OB∥AC，∵OA＝OD，∴OF＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(5,2).∵四边形ACBD是圆内接四边形．∴∠BDE＝∠ACB，∵∠DBE＝∠CAB，∴△DBE∽△CAB，∴eq\f(DB,CA)＝eq\f(DE,CB)，∴eq\f(\r(3),5)＝eq\f(DE,\r(3))∴DE＝eq\f(3,5)，∵∠OBE＝∠OFD＝90°，∴DF∥BE，∴eq\f(OF,OB)＝eq\f(OD,OE)，∴eq\f(\f(5,2),R)＝eq\f(R,R＋\f(3,5))，∵R＞0，∴R＝3，∴AB＝eq\r(AD2－BD2)＝eq\r(33)，∵eq\f(AC,AB)＝eq\f(BD,BE)，∴BE＝eq\f(3\r(11),5)4．(导学号14952498)(2016·宜宾)如图1，在△APE中，∠PAE＝90°，PO是△APE的角平分线，以O为圆心，OA为半径作圆交AE于点G.(1)求证：直线PE是⊙O的切线；(2)在图2中，设PE与⊙O相切于点H，连接AH交OP于点F，点D是⊙O的劣弧eq\o(AH,\s\up8(︵))上一点，过点D作⊙O的切线，交PA于点B，交PE于点C，已知△PBC的周长为4，tan∠EAH＝eq\f(1,2)，求EH的长．解：(1)如图1，作OH⊥PE，∴∠OHP＝90°，∵∠PAE＝90，∴∠OHP＝∠OAP，∵PO是∠APE的角平分线，∴∠APO＝∠EPO，在△PAO和△PHO中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠OHP＝∠OAP，,∠OPH＝∠OPA，,