知识点知识点第1课时平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有又有的量叫做向量，向量的大小叫做向量的(或称)．(2)零向量：的向量叫做零向量，其方向是的，零向量记作.(3)单位向量：与向量a同方向，且长度为的向量，叫做a方向上的单位向量，记作a0.(4)平行向量：方向相同或的向量；平行向量又叫向量．规定：0与任一向量．(5)相等向量：长度且方向的向量．(6)相反向量：长度且方向的向量．【思考探究】两向量平行与两直线(或线段)平行有何不同？提示：平行向量也叫共线向量，这里的“平行”与两直线(或线段)平行的意义不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线上，甚至起点都可以相同．2．向量的线性运算向量运算答案：C答案：A3．λ∈R，则下列命题正确的是()A．|λa|＝λ|a|B．|λa|＝|λ|aC．|λa|＝|λ||a|D．|λa|＞0解析：A中λ＜0时不成立．B中|λa|是实数，而|λ|a是向量，故B错．D中，若λ＝0或a＝0时，|λa|＝0，故D错．答案：C4．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.答案：2给出下列命题：(1)两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．(2)两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．(3)λa＝0(λ为实数)，则λ必为零．(4)λ、μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误的命题的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：(1)错．两向量共线要看其方向而不是起点与终点．(2)对．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．(3)错．当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.(4)错．当λ＝μ＝0时，λa＝μb，此时，a与b可以是任意向量．答案：C答案：B向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”，即第二个向量的起点与第一个向量的终点重合，和向量由第一个向量的起点指向第二个向量的终点；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”，即两个向量的起点重合，差向量由减向量的终点指向被减向量的终点；平行四边形法则的要素是“起点重合”，即两个向量的起点相同，和向量的起点也相同．1．向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想．2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．4．共线定理的作用：用向量共线定理可以证明几何中的三点共线和直线平行问题．但是向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合的情况．要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式b＝λa，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置．从近两年的高考试题来看，向量的线性运算、共线问题是高考的热点．尤其向量的线性运算出现的频率较高，多以选择题、填空题的形式出现，属中低档题目，主要考查向量的线性运算及对向量有关概念的理解，常与向量共线和平面向量基本定理交汇命题．答案：B答案：B答案：B3．(2009·北京卷)已知向量a、b不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么()A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向