第十五章二阶矩阵、常见的平面变换及矩阵的乘法二阶矩阵与平面向量【解析】设P点的坐标为(x,y),则,即，解得.所以P点的坐标为.点评【例2】已知曲线C的方程为x2+y2=1，伸缩变换σ和反射变换ρ的矩阵分别为和,求曲线C在σ和ρ变换下曲线C′的方程，并说明曲线的特征.【解析】设点P(x,y)为曲线C上任意一点，通过变换后对应的点为P′(x′,y′).由,得，代入x2+y2=1，得,即曲线C在伸缩变换σ的作用下的曲线C′的方程为x2+4y2=1,其图形为焦点在x轴上，中心在坐标原点的椭圆.又由，得，代入x2+y2=1,得.故曲线C在反射变换ρ的作用下的曲线C′的方程为x2+y2=1,其图形仍为圆心在坐标原点，半径为1的圆.点评【变式练习2】分别给出下列矩阵表示的变换对图中△ABC的作用结果，其中A(-3,0),B(0,2),C(2,0).(1);(2);(3);(4).【变式练习2】(1)矩阵表示横坐标保持不变，纵坐标沿y轴负方向拉伸为原来的2倍的伸压变换，故△ABC变为△A′B′C′，其中A′(-3,0),B′(0,-4),C′(2,0).(2)矩阵表示纵坐标不变，横坐标依纵坐标比例增加的切变变换，故△ABC变为△A′B′C′，其中A′(-3,0),B′(2,2),C′(2,0).(3)矩阵表示将图形变换为与之关于直线y=x对称的反射变换，故△ABC变为△A′B′C′，其中A′(0,-3),B′(2,0),C′(0,2).(4)矩阵表示绕原点逆时针旋转60°的旋转变换，故△ABC变为△A′B′C′，其中A′,B′,C′.变换的复合与矩阵的乘法【解析】(1)因为AB=,所以(AB)α=,即向量α=在复合变换σρ作用下的像为.(2)因为ρi=,ρj=,又(σ·ρ)i=,(σ·ρ)j=,从而点评【解析】设B=,则,故,解得.故B=.3.已知二阶矩阵M满足,,求.所以M=.所以M2=.所以.4.设M=，N=,试求曲线y=sinx在矩阵MN变换下的曲线方程.则，所以,即.将其代入y=sinx，得y′=sin2x′，即y′=2sin2x′.即曲线y=sinx在矩阵MN变换下的曲线方程为y=2sin2x.1.矩阵与向量乘法的意义应以映射与变换的观点来认识、理解.2.线性变换与二阶矩阵是一一对应的，既可以通过二阶矩阵来研究对应的线性变换，又可以通过线性变换来研究对应的二阶矩阵.