第十三章两个计数原理与排列、组合1.下列问题：①从1到10十个自然数中任取两个不同的数组成点的坐标，可以得到多少个不同点的坐标？②从学号为1到10的十名同学中任选两名去开座谈会，有多少种不同的选法？③平面上有5个点，其中任意三点不共线，则这5个点最多可确定多少条直线？④平面上有5个点，其中任意三点不共线，则这5个点最多可确定多少条射线？属于排列问题的序号为______(选出你认为正确的序号)．解析：根据排列的定义，有顺序的问题是排列问题，点的坐标和射线都是有顺序的，所以答案为①④.2.甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有______种．解析：甲选修2门，有6种选法；乙选修3门，有4种选法；丙选修3门，有4种选法．所以不同的选修方案共有6×4×4=96(种)．174.用数字0,1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，且比20000大的五位偶数共有____个．解析：分两类：首位是2或4，有4A=96个；首位是3或5，有6A=144个．故符合条件的五位数有96+144=240个．5.从班委会5名成员中选出3名分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙两人不能担任文娱委员，则不同的选法共有___种．(用数字作答)两个计数原理的应用【解析】(1)每人选报一个项目，都有三种选法，当每个人的项目选定后，这件事才算完成.故由分步计数原理，知共有3×3×3×3=81种不同的报名方法.(2)若以学生获得冠军的可能性考虑，第一位学生获得冠军有4种可能性(没有得冠军，跑步得冠军，跳高得冠军，跳远得冠军)，但考虑第二位学生时，并不是有4种可能，他受到第一位学生得冠军的可能性的影响，因为第二位学生要获得冠军，要除去与第一位学生获得冠军的相同的情况，考虑第三位、第四位获得冠军，相同的情况就会变得越来越复杂.显然，以学生获得冠军的可能性来分步，会使解决问题更加困难.若以每个项目冠军产生的可能性考虑，问题的思路就清晰多了.完成三个项目都产生了冠军，事情才算完成，每个项目的冠军只有一个，4个人都有可能获得某个项目的冠军，所以每个项目的冠军都有4种可能的结果.由分步计数原理，知共有可能的结果为4×4×4=64种.点评排列问题点评【变式练习2】求用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数．组合问题【解析】(1)只要从其余的10人中再选3人即可，有=120种；(2)5个人全部从另外10人中选，总的选法有=252种；(3)直接法:分两类：A、B一人当选，有=420种；A、B都不当选，有=252种；所以总的选法有420+252=672种；间接法:从12人中选5人的选法总数中减去从不含A、B的10人中选3人的选法总数，得到总的选法有=672种；(4)直接法:分四步：选2名女生，有=10×35=350种；选3名女生，有=210种；选4名女生，有=35种；选5名女生，有=1种.所以总的选法有350+210+35+1=596种；间接法：从12人中选5人的选法总数中减去不选女生与只选一名女生的选法数之和，即总选法有=596种；(5)分三步：先选1男1女分别担任体育委员、文娱委员的方法有=35种；再选出2男1女，补足5人的方法有=60种；最后为第二步选出的3人分派工作，有=6种方法.所以总的选法有35×60×6=12600种.点评排列与组合的综合应用【解析】分三步：先确定一个空盒，有=4种方法；选出2个小球捆绑，有=6种方法；将捆绑的小球与其余2个小球看成3个小球，再放入3个盒中，有=6种方法.于是共有=4×6×6=144种方法.点评点评【变式练习4】有6本不同的书.(1)甲、乙、丙三人每人2本，有多少种不同的分法？(2)分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？(3)分成3堆，一堆一本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？(4)分给甲、乙、丙3人，一人一本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分法？(5)分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？(6)摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？【解析】(1)在6本书中，先取2本给甲，从剩下的4本中取2本给乙，最后2本给丙，有=90种分法；(2)6本书平均分成3堆，共有=15种分堆方法；(3)从6本书中先取1本作一堆，在剩下的5本中，取2本作一堆，最后的3本作一堆，共有=60种分堆方法；【解析】(4)在(3)中，甲、乙、丙3人任取一堆，共有=360种分堆方法(5)平均分堆要除以堆数的全排列，不平均分堆则不除，共有=15种分堆方法;(6)与6本书放在6个位置上同意义，共有=720种不同的摆法.【解析】(先填数字1，有3种方法；其次任选一个数字填入符合条件的方格中，有3种方法