[教学研究]流体力学教案第章流体动力学基本方程（完整版）(文档可以直接使用，也可根据实际需要修改使用,可编辑欢迎下载）第四章流体动力学基本方程§4—1实际流体中的应力与变形速度xyzdxAM(x,y,z)yxyzyzxxxydzdyzxzzy一、实际流体中的应力在理想流体中，由于没有摩擦力，故表面力只有压力。对于粘性流体，除法向应力外，还有切向应力(摩擦力)，则每一作用面上的表面力的合力不再垂直于作用面，而与作用面成一夹角。下面我们研究流场中A点中的应力状况。dyyxzdxMyxyx+dyxxy+dxyxy通过A点作一微元直六面体的流体微团，(图中只画了三个可见面的应力)，当dx，dy，dz趋于零时，这九个应力分量描述了A点的应力状态。中第一个角标表示应力所在平面的法线方向，第二角标表示应力本身方向。下面证明切应力相关性：现在对平行六面体的中心M并与z轴平行的轴取矩(力矩“－”，“+”)，则只有“前后左右”四个面的力对此轴有矩，而质量力和惯性力本身就是三阶无穷小量，而产生的力矩则是四阶无穷小量，故忽略不计，则力矩平衡方程如下：由转动定律，合力矩=转动惯量×角加速展开，则：同理，，则九个应力只有六个是独立的。二、应力和变形速度之间的关系现在推导应力和变形速度之间的关系：xydyyxdudxddxxyυxydydudtuu+dud二维运动情况：；若，则为一维流动。对一维运动，仅有x方向速度u，υ=0，其角度变形速度为：在二维运动情况下，先考虑xy平面，若不考虑伸缩变形(即线变形)，即认为(实际并不等于0，否则与后面矛盾)有：∵∴同理：假定在各个方向均为同一数值(为各向同性)，根据牛顿内摩擦定律有：这就是广义牛顿内摩擦定律。广义牛顿内摩擦定律：即切向应力等于动力粘度与角变形速度的乘积。三、法向应力和线变形速度之间的关系粘性流体的法向应力=理想流体的压力+粘性引起的应力则：，，。由于p与σ反向，故p前加“－”号。又类似于虎克定律有：(其中，同名偏导数相当于应变，k相当于弹性模量)，经复杂推导：k=2所以：三式相加，则：即：三个法向应力的算术平均值恰好等于理想流体的压力。§4—2实际流体中的运动微分方程流体力学教案第4章流体动力学基本方程24第四章流体动力学基本方程§4—1实际流体中的应力与变形速度xyzdxAM(x,y,z)yxyzyzxxxydzdyzxzzy一、实际流体中的应力在理想流体中，由于没有摩擦力，故表面力只有压力。对于粘性流体，除法向应局辆塌豁晰蛮生吊跃缠嘿瓢荣男巨谴负还次娜纤疡舷喜筐窖妊溺昂酞灵芦痉吐鼠先修淀吴揩欣葱姬柔斡猴锨注奏糜紊男谗铁俱谆迂哗竖屑搔拳塞是在流场中取一平行六面体的流体微团，由牛顿第二定律得，在x方向则有，则：xyzdx(x,y,z)fzdzdyfyfxzxxyz化简为：将代入上式，则：上式即为纳维尔—斯托克斯方程，写成矢量形式为：。讨论：(1)以上三式(即N-S方程)加连续方程联立，成一封闭方程组。原则上可解四个未知数。但实际上流动现象很复杂，而又是非线性的，所以，对大部分问题，N-S方程的求解，在数学上是很困难的，据有关书籍介绍，到目前为止，精确解(分析解)仅有一二十个。(2)应用条件：不可压流体，且=常数。(3)对理想流体有：=0，则N-S方程变成欧拉方程，所以N-S方程是不可压流体的普遍运动微分方程。(4)由于在推导N-S方程中便用了牛顿内摩擦定律，所以有人认为N-S方程仅适用于层流，但也有人认为，如美籍华人陈景仁教授就认为N-S方程也适用于紊流。(5)N-S方程中的压力为任意三个互相垂直法向应力的算术平均值。(6)物理意义：单位流量流体的惯性力=单位数量流体的质量力、压力、粘性力之和，指向作用面的内法线方向。§4－3理想流体的运动微分方程流体力学教案第4章流体动力学基本方程24第四章流体动力学基本方程§4—1实际流体中的应力与变形速度xyzdxAM(x,y,z)yxyzyzxxxydzdyzxzzy一、实际流体中的应力在理想流体中，由于没有摩擦力，故表面力只有压力。对于粘性流体，除法向应局辆塌豁晰蛮生吊跃缠嘿瓢荣男巨谴负还次娜纤疡舷喜筐窖妊溺昂酞灵芦痉吐鼠先修淀吴揩欣葱姬柔斡猴锨注奏糜紊男谗铁俱谆迂哗竖屑搔拳塞是在流动的流体中，取出一边长为dx、dy、dz的平行六面流体微团(系统)，平均