第18讲平几中的几个重要定理（一）本节主要内容有Ptolemy、Ceva、Menelaus等定理及应用．定理1(Ptolemy定理)圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和；(逆命题成立)定理2(Ceva定理)设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是eq\f(AZ,ZB)·eq\f(BX,XC)·eq\f(CY,YA)=1．定理3(Menelaus定理)设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是eq\f(AZ,ZB)·eq\f(BX,XC)·eq\f(CY,YA)=1．定理4设P、Q、A、B为任意四点，则PA2-PB2=QA2-QB2PQ⊥AB．A类例题例1证明Ptolemy定理．已知：如图，圆内接ABCD，求证：AC·BD=AB·CD+AD·BC．分析可设法把AC·BD拆成两部分，如把AC写成AE+EC，这样，AC·BD就拆成了两部分：AE·BD及EC·BD，于是只要证明AE·BD=AD·BC及EC·BD=AB·CD即可．证明在AC上取点E，使ADE=BDC，由DAE=DBC，得⊿AED∽⊿BCD．∴AE∶BC=AD∶BD，即AE·BD=AD·BC．⑴又ADB=EDC，ABD=ECD，得⊿ABD∽⊿ECD．∴AB∶ED=BD∶CD，即EC·BD=AB·CD．⑵⑴+⑵，得AC·BD=AB·CD+AD·BC．说明本定理的证明给证明ab=cd+ef的问题提供了一个典范．链接用类似的证法，可以得到Ptolemy定理的推广(广义Ptolemy定理)：对于一般的四边形ABCD，有AB·CD+AD·BC≥AC·BD．当且仅当ABCD是圆内接四边形时等号成立．例2证明Ceva定理．分析此三个比值都可以表达为三角形面积的比，从而可用面积来证明．证明：设S⊿APB=S1，S⊿BPC=S2，S⊿CPA=S3．则eq\f(AZ,ZB)=eq\f(S3,S2)，eq\f(BX,XC)=eq\f(S1,S3)，eq\f(CY,YA)=eq\f(S2,S1)，三式相乘，即得证．说明用同一法可证其逆正确．链接本题也可过点A作MN∥BC延长BY、CZ与MN分别交于M、N，再用比例来证明．运用此定理可以比较简洁证明三条角平分线、三条中线、三条高等共点问题．例3证明Menelaus定理．N证明：作CN∥BA，交XY于N，则eq\f(AZ,CN)=eq\f(CY,YA)，eq\f(CN,ZB)=eq\f(XC,BX)．S1S2S3S4于是eq\f(AZ,ZB)·eq\f(BX,XC)·eq\f(CY,YA)=eq\f(AZ,CN)·eq\f(CN,ZB)·eq\f(BX,XC)·eq\f(CY,YA)=1．本定理也可用面积来证明：如图，连AX，BY，记SAYB=S1，SBYC=S2，SCYX=S3，SXYA=S4．则eq\f(AZ,ZB)=eq\f(S4,S2+S3)；eq\f(BX,XC)=eq\f(S2+S3,S3)；eq\f(CY,YA)=eq\f(S3,S4)，三式相乘即得证．说明用同一法可证其逆正确．Ceva定理与Menelaus定理是一对“对偶定理”．链接本定理证明很多，可以运用三角、射影等知识；还可以运用此定理证明Ceva定理．例4证明定理4设P、Q、A、B为任意四点，则PA2-PB2=QA2-QB2PQ⊥AB．证明先证PA2-PB2=QA2-QB2PQ⊥AB．作PH⊥AB于H，则PA2-PB2=(PH2+AH2)-(PH2+BH2)=AH2－BH2=(AH+BH)(AH-BH)=AB(AB-2BH)．同理，作QH’⊥AB于H’，则QA2-QB2=AB(AB-2AH’)∴H=H’，即点H与点H’重合．PQ⊥ABPA2-PB2=QA2-QB2显然成立．说明本题在证明两线垂直时具有强大的作用．链接点到圆的幂：设P为⊙O所在平面上任意一点，PO=d，⊙O的半径为r，则d2－r2就是点P对于⊙O的幂．过P任作一直线与⊙O交于点A、B，则PA·PB=|d2－r2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，