第16讲平几问题选讲平面几何在高中竞赛和国际竞赛中占有重要的地位，本讲将对平几中的一些典型问题的选讲，强化解平几问题的典型思想方法.A类例题例1如图，已知正方形ABCD，点E、F分别在BC、CD上，且BE+DF=EF，试求∠EAF的度数.（1989年全国冬令营）分析注意到BE+DF=EF，很容易想到“截长补短”的方法．解延长CB到F'，使得BF'=DF，连结AF'显然AF'B≌AFD．∴∠BAF'=∠DAF，AF'=AF．又∵EF'=BE+BF'=BE+DF，AE为公共边，∴AF'E≌AFE．∴∠EAF'=∠EAF．又∵∠FAF'=∠BAD=90º，∴∠EAF=45º．说明本题AF'B可以看作是AFD顺时针旋转90º得到的；本题也可以延长CD或旋转ABE.链接本题若在EF上截取EH=BE，是很难进行下去的，但我们可以用代数的方法来研究，解法如下：过点A作AHEF于H，由勾股定理得AB2+BE2=AH2+EH2，AD2+DF2=AH2+FH2，两式相减可得BE2-DF2=EH2-FH2，于是(BE-DF)(BE+DF)=(EH-FH)(EH+FH)，而BE+DF=EH+FH①所以BE-DF=EH-FH②，由①②可得BE=EH，DF=FH．从而可得AE平分∠BAH，AF平分∠DAH，所以∴∠EAF=45º．例2如图，A、B、C、D为直线上四点，且AB=CD，点P为一动点，若∠APB=∠CPD，试求点P的轨迹．（1989年全国初中数学联赛）分析由于已知的两个条件AB=CD和∠APB=∠CPD，分散在两个三角形中，需要把它们集中，于是可以进行平移或添加辅助圆建立这两个已知条件间的联系.证法一分别过点A、B作PC、PD的平行线得交点Q.连结PQ.在△QAB和△PCD中,显然∠QAB＝∠PCD,∠QBA＝∠PDC.由AB=CD,可知△QAB≌△PCD.有QA＝PC，QB＝PD，∠AQB＝∠CPD.于是,PQ∥AB，∠APB＝∠AQB.则A、B、P、Q四点共圆，且四边形ABPQ为等腰梯形.故AP＝BQ.所以PA＝PD.即点P的轨迹是线段AD的垂直平分线.证法二作△PBC的外接圆交PA、PD分别为E、F，连结BE、CF，∵∠APB=∠CPD，∴BE=CF，∠ABE=∠EPC=∠BPF=∠DCF.又∵AB=CD，∴△ABE≌△DCF.∴∠PAB＝∠PDC.∴PA＝PD.即点P的轨迹是线段AD的垂直平分线.说明同样地，也可以作△PAD的外接圆，目的是建立条件AB=CD和∠APB=∠CPD之间的联系.证法三由三角形的面积公式易得PA·PB=PC·PD，PA·PC=PB·PD，两式相乘，化简得PA＝PD.即点P的轨迹是线段AD的垂直平分线.证法四由正弦定理得eq\f(PA,sinPBA)=eq\f(AB,sinAPB),eq\f(PD,sinPCD)=eq\f(CD,sinCPD),从而eq\f(PA,sinPBA)=eq\f(PD,sinPCD)，同理可得eq\f(PA,sinPCB)=eq\f(PD,sinPBD)，而sinPBA=sinPBD，sinPCD=sinPCB，化简得PA＝PD.即点P的轨迹是线段AD的垂直平分线.链接本题可以有更一般的结论，如:若仅已知∠APB=∠CPD，求证：eq\f(PA2,PD2)=eq\f(AB·AC,AB·AC)；请同学们自己研究．MPAQNFBDCEK例3．AD是△ABC的高线，K为AD上一点，BK交AC于E，CK交AB于F.求证：∠FDA＝∠EDA.分析为了把已知条件之间建立联系，可以通过作平行线的方法.证明如图，过点A作BC的平行线,分别交直线DE、DF、BE、CF于Q、P、N、M.显然，＝＝.有BD·AM＝DC·AN.(1)由＝＝，有AP＝.(2)由＝＝，有AQ＝.(3)对比(1)、(2)、(3)有AP＝AQ.显然AD为PQ的中垂线，故AD平分∠PDQ.所以，∠FDA＝∠EDA.说明这里,原题并未涉及线段比,添加BC的平行线,就有大量的比例式产生,恰当地运用这些比例式,就使AP与AQ的相等关系显现出来.本题证明方法很多，例如可以过点E、F作BC的垂线，也转化为线段的比来研究.链接若K为△ABC的垂心时，△DEF为垂三角形，对于垂三角形有如下性质：三角形的垂线二等分其垂三角形的内角或外角.关于垂心的性质可参见本书高一分册第十七讲《三角形的五心》．情景再现1．点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BCABCDEFG