第56讲解析法证几何题解析法是利用代数方法解决几何问题的一种常用方法．其一般的顺序是：建立坐标系，设出各点坐标及各线的方程，然后根据求解或求证要求进行代数推算．它的优点是具有一般性与程序性，几何所有的平面几何问题都可以用解析法获解，但对于有些题目演算太繁．此外，如果建立坐标系或设点坐标时处理不当，也可能增加计算量．建系设点坐标的一般原则是使各点坐标出现尽量多的0，但也不可死搬教条，对于一些“地位平等”的点、线，建系设点坐标时，要保持其原有的“对称性”．A类例题例1．如图，以直角三角形ABC的斜边AB及直角边BC为边向三角形两侧作正方形ABDE、CBFG．求证：DC⊥FA．分析只要证kCD·kAF＝－1，故只要求点D的坐标．证明以C为原点，CB为x轴正方向建立直角坐标系．设A(0，a)，B(b，0)，D(x，y)．则直线AB的方程为ax＋by－ab＝0．故直线BD的方程为bx－ay－(b·b－a·0)＝0，即bx－ay－b2＝0．ED方程设为ax＋by＋C＝0．由AB、ED距离等于|AB|，得eq\f(|C＋ab|,eq\r(a2＋b2))＝eq\r(a2＋b2)，解得C＝±(a2＋b2)－ab．如图，应舍去负号．所以直线ED方程为ax＋by＋a2＋b2－ab＝0．解得x＝b－a，y＝－b．(只要作DH⊥x轴，由△DBH≌△BAC就可得到这个结果)．即D(b－a，－b)．因为kAF＝eq\f(b－a,b)，kCD＝eq\f(－b,b－a)，而kAF·kCD＝－1．所以DC⊥FA．例2．自ΔABC的顶点A引BC的垂线，垂足为D，在AD上任取一点H，直线BH交AC于E，CH交AB于F．试证：AD平分ED与DF所成的角．证明建立直角坐标系，设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，H(0，h)，于是BH：eq\f(x,b)＋eq\f(y,h)＝1AC：eq\f(x,c)＋eq\f(y,a)＝1过BH、AC的交点E的直线系为：λ(eq\f(x,b)＋eq\f(y,h)－1)＋μ(eq\f(x,c)＋eq\f(y,a)－1)＝0．以(0，0)代入，得λ＋μ＝0．分别取λ＝1，μ＝－1，有x(eq\f(1,b)－eq\f(1,c))＋y(eq\f(1,h)－eq\f(1,a))＝0．所以，上述直线过原点，这是直线DE．同理，直线DF为x(eq\f(1,c)－eq\f(1,b))＋y(eq\f(1,h)－eq\f(1,a))＝0．显然直线DE与直线DF的斜率互为相反数，故AD平分ED与DF所成的角．说明写出直线系方程要求其中满足某性质的直线，就利用此性质确定待定系数，这实际上并不失为一种通法．例3．证明：任意四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和再加上对角线中点连线的平方的4倍．证明在直角坐标系中，设四边形四个顶点的坐标为A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)，A4(x4，y4)．由中点公式知对角中点的坐标为B(eq\f(x1＋x3,2)，eq\f(y1＋y3,2))，C(eq\f(x2＋x4,2)，eq\f(y2＋y4,2))．则4(eq\f(x1＋x3,2)－eq\f(x2＋x4,2))2＋(x1－x3)2＋(x2－x4)2＝(x1＋x3－x2－x4)2＋(x1－x3)2＋(x2－x4)2＝2(xeq\a(2,1)＋xeq\a(2,2)＋xeq\a(2,3)＋xeq\a(2,4)－x1x2－x2x3－x3x4－x4x1)＝(x1－x2)2＋(x2－x3)2＋(x3－x4)2＋(x4－x1)2，同理有4(eq\f(y1＋y3,2)－eq\f(y2＋y4,2))2＋(y1－y3)2＋(y2－y4)2＝(y1－y2)2＋(y2－y3)2＋(y3－y4)2＋(y4－y1)2，两式相加得：|A1A2|2＋|A2A3|2＋|A3A4|2＋|A4A1|2＝4|BC|2＋|A1A3|2＋|A2A4|2．说明本题纯几何证法并不容易，而采用解析法，只需要简单的计算便达到目的．另外本例中巧妙地抓住了各点的“对称性”，设了最为一般的形式，简化了计算．情景再现1．如图，⊙O的弦CD平行于直径AB，过C、D的圆的切线交于点P，直线AC、BC分别交直线OP于Q、R．求证：|PQ|＝|PR|．2．自圆M外一点E作圆的切线，切点为F，又作一条割线EAB，交圆M于A、B，连结EF的中点O与B，交圆M于D，ED交圆M于C．求证：AC∥EF．3．C