一、什么是离散数学？二、为什么要学离散数学？三、如何学好离散数学？第四部分数理逻辑。包括命题逻辑和谓词逻辑。第一部分集合论7、关系的表示方法：集合、矩阵和关系图。8、关系的性质：自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性。9、关系的运算：复合运算、逆运算和闭包运算。10、特殊的二元关系及其相关特性：等价关系（自反性、对称性、传递性）、偏序关系（自反性、反对称性、传递性）、等价类、偏序关系中的特殊元素（极大元、上界等）。11、函数的定义、函数的定义域和值域。12、函数的性质：单射、满射和双射。13、函数的运算：复合函数、逆函数。14、集合的基数。二、重点和难点1、掌握元素与集合之间的关系，集合与集合之间的关系。2、运用集合运算的基本定律去化简集合表达式或证明集合等式。3、掌握二元关系的五个性质和二元关系的运算。4、等价关系的证明、等价类的求解，偏序关系的特定元素的求解。5、函数的性质，求复合函数和逆函数。三、例题1、这两个关系是否正确？答：正确。在中表示元素；在中表示空集。2、求R={<1,2>,<2,3>,<3,4>}的传递闭包。解：R的传递闭包={<1,2>,<2,3>,<3,4>,<1,3>,<2,4>,<1,4>}。注意：求传递闭包是一个不断重复合并有序对的过程。有序对<1,4>往往被漏掉。3、化简集合表达式：((A∩B)∪A)⊕((B∩~B)⊕A⊕(B∪~B))解：((A∩B)∪A)⊕((B∩~B)⊕A⊕(B∪~B))(吸收律和零律)=A⊕⊕A⊕U(同一律)=A⊕A⊕U(零律)=⊕U=U4、设集合A＝{a,b,c,d,e}，偏序关系R的哈斯图如图所示，若A的子集B={c,d,e}，求：（1）用列举法写出偏序关系R的集合表达式；（2）写出集合B的极大元、极小元、最大元、最小元、上界、下界、上确界、下确界。5、已知f：RR且f(x)=(x+4)^3-2，已知g：RR且g(x)=3*x+5，求:(1)f与g的合成函数，并求3在f与g的合成函数下的函数值。(2)g与f的合成函数是否存在逆函数？为什么？如果有，求它的逆函数。解:(1)f°g:RR，且f°g(x)=g(f(x))=3*((x+4)^3-2)+5=3*(x+4)^3-1f°g(3)=3*(3+4)^3-1=1028(2)因为g与f都是双射函数；那么，g与f的合成函数也是双射函数。故g与f的合成函数存在逆函数。g°f:RR，且g°f(x)=f(g(x))=3*(3*x+5)^3-2(g°f)-1:RR，且(g°f)-1(x)=(((x+2)/3)^(1/3)-5)/3第二部分图论二、重点和难点1、掌握图的基本概念。2、运用握手定理解题。3、利用图的矩阵求两个结点间的通路条数。4、欧拉图和哈密尔顿图的判定。5、树的遍历方法。三、例题1、设T是2叉正则树，有t片树叶，i个分支点，证明T的边数m=2t-2。证：设T有m条边，根据握手定理可得：t+3i-1=2m…………………………………(1)因为T是2叉正则树，根据树的性质可得：m=t+i-1…………………………………….(2)解由(1)，(2)构成的方程组得：m=2t-2。故结论成立。2、已知无向图G为n(n≥2)阶简单图，G有m条边，则G的补图有______个结点，有_______条边。答：G的补图的结点个数等于G的结点个数，等于n。G的补图的边数等于n阶完全图的边数减去G的边数，等于n(n-1)/2-m。3、下列命题正确的是（）（a）G为n阶无向连通图，如果G的边数m≥n-1，则G中必有圈（b）二部图的顶点个数一定是偶数（c）若无向图G的任何两个不相同的顶点均相邻，则G为哈密尔顿图（d）3-正则图的顶点个数可以是奇数，也可以是偶数解：c正确，因为无向图G为完全图。a不正确，当G是无向树时，m=n-1，但G中没有圈。b不正确，二部图要求结点能够分成两部分，每部分中的任何两个结点无边，并没有要求二部图的顶点个数是偶数.d不正确，3-正则图的所有结点的度数均为3，根据握手定理可得，所有顶点的度数之和是偶数。所以3-正则图的顶点个数必为偶数。4、已知有向图D的顶点集合V(D)={v1,v2,v3,v4}，其邻接矩阵如右图所示。求从v1到v3长度小于等于3的通路个数。5、设n阶无向树G=<V,E>中有m条边，证明m=n-1。证：用数学归纳法进行证明。(1)初始化：当n=1时，无向树G是平凡树，即G为平凡图。则m=0=n-1。(2)假设归纳：假设当nk时，结论成立，即m=n-1。当n=k+1时，从无向树G中删除某个结点v，如果结点v的度数为i，则有i条边与结点v相关联