第十章计数原理第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理一、选择题1．如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有()ABCDA．72种B．48种C．24种D．12种解析先分两类：一是四种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有4×3×2×1＝24种涂法；二是用三种颜色，这时A，B，C的涂法有4×3×2＝24种，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法．故不同的涂法共有24＋24×2＝72种．答案A2．如图，用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有()．A．400种B．460种C．480种D．496种解析从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D、A同色1种，D、A不同色3种，∴不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480(种)，故选C.答案C3．某省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展，某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团．且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为()．A．72B．108C．180D．216解析设五名同学分别为甲、乙、丙、丁、戊，由题意，如果甲不参加“围棋苑”，有下列两种情况：(1)从乙、丙、丁、戊中选一人(如乙)参加“围棋苑”，有Ceq\o\al(1,4)种方法，然后从甲与丙、丁、戊共4人中选2人(如丙、丁)并成一组与甲、戊分配到其他三个社团中，有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)种方法，故共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)种参加方法；(2)从乙、丙、丁、戊中选2人(如乙、丙)参加“围棋苑”，有Ceq\o\al(2,4)种方法，甲与丁、戊分配到其他三个社团中有Aeq\o\al(3,3)种方法，这时共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)种参加方法；综合(1)(2)，共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝180种参加方法．答案C4．有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有()A．8种B．9种C．10种D．11种解析分四步完成，共有3×3×1×1＝9种．答案B5．从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有()．A．300种B．240种C．144种D．96种解析甲、乙两人不去巴黎游览情况较多，采用排除法，符合条件的选择方案有Ceq\o\al(4,6)Aeq\o\al(4,4)－Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,5)＝240.答案B6．4位同学从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法有()．A．12种B．24种C．30种D．36种解析分三步，第一步先从4位同学中选2人选修课程甲．共有Ceq\o\al(2,4)种不同选法，第二步给第3位同学选课程，有2种选法．第三步给第4位同学选课程，也有2种不同选法．故共有Ceq\o\al(2,4)×2×2＝24(种)．答案B二、填空题7．将数字1,2,3,4,5,6按第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数的形式随机排列，设Ni(i＝1,2,3)表示第i行中最大的数，则满足N1＜N2＜N3的所有排列的个数是________．(用数字作答)解析由已知数字6一定在第三行，第三行的排法种数为Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,5)＝60；剩余的三个数字中最大的一定排在第二行，第二行的排法种数为Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,2)＝4，由分步计数原理满足条件的排列个数是240.答案2408．数字1,2,3，…，9这九个数字填写在如图的9个空格中，要求每一行从左到右依次增大，每列从上到下也依次增大，当数字4固定在中心位置时，则所有填写空格的方法共有________种．解析必有1、4、9在主对角线上，2、3只有两种不同的填法，对于它们的每一种填法，5只有两种填法．对