第九节离散型随机变量的均值与方差、正态分布数学期望3．两点分布与二项分布的均值、方差上方(4)正态总体三个基本概率值①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝_________；②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝________；③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝_________．1．随机变量的均值、方差与样本均值、方差的关系是怎样的？【提示】随机变量的均值、方差是一个常数，样本均值、方差是一个变量，随观测次数的增加或样本容量的增加，样本的均值、方差趋于随机变量的均值与方差．2．若X～N(0，100)，Y～N(0，81)，你能比较P(X＞1)与P(Y＞1)的大小吗？【提示】因为100＞81，所以X对应的正态曲线“矮胖”，Y对应的正态曲线“瘦高”，并且两曲线的对称轴相同，故P(X＞1)＞P(Y＞1)．1．(人教A版教材习题改编)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ＜0)＝()A．0.16B．0.32C．0.68D．0.84【解析】∵P(ξ≤4)＝0.84，μ＝2，∴P(ξ＜0)＝P(ξ＞4)＝1－0.84＝0.16.【答案】A3．已知X的分布列为【答案】A3．(2013·珠海模拟)某射手射击所得环数ξ的分布列如下：已知ξ的期望Eξ＝8.9，则y的值为________．【答案】0.44．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布列如下表：请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案Eξ＝________．【解析】设P(ξ＝1)＝x，则P(ξ＝3)＝x，由分布列性质，∴P(ξ＝2)＝1－2x，因此Eξ＝1·x＋2·(1－2x)＋3·x＝2.【答案】2已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，则P(0＜ξ＜2)＝()A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2【思路点拨】根据正态曲线的对称性求解．【答案】C1．求解本题关键是明确正态曲线关于x＝2对称，且区间[0，4]关于x＝2对称．2．关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法(1)熟记P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值．(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.若在本例中，条件改为“已知随机变量ξ～N(3，1)，且P(2≤ξ≤4)＝0.6826，”求P(ξ＞4)的值．(2013·揭阳模拟)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同．每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．(每次游戏结束后将球放回原箱)(1)求在1次游戏中，①摸出3个白球的概率；②获奖的概率．(2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E(X)与方差D(X)．【思路点拨】(1)获奖则摸出2个白球或摸出3个白球，利用互斥事件概率加法不难求解；(2)在2次游戏中，获奖的次数X服从二项分布，进而可求分布列与数学期望．所以X的分布列是1．本题求解的关键在于求一次游戏中获奖的概率，要正确利用互斥事件和相互独立事件概率计算公式．2．求离散型随机变量的均值与方差的方法：(1)先求随机变量的分布列，然后利用均值与方差的定义求解．(2)若随机变量X～B(n，p)，则可直接使用公式EX＝np，DX＝np(1－p)求解．(2012·江西高考)如图10－9－1，从A1(1，0，0)，A2(2，0，0)，B1(0，1，0)，B2(0，2，0)，C1(0，0，1)，C2(0，0，2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V＝0)．(1)求V＝0的概率；(2)求V的分布列及数学期望EV.【思路点拨】对投资项目的评判，首先从收益的期望值进行比较，若相同，则进一步选择方差较小的投资项目．【尝试解答】(1)若按“项目一”投资，设获利为ξ1万元．则ξ1的分布列为1．(1)解决此类题目的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件，求得该事件发生的概率，列出分布列．(2)第(2)问中易忽视2012年年初投资与总资产的年底核算，错误回答2016年年底翻一番．2．随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据，一般是先分析比较均值，若均值相同，再用方差来决定．(2012·课标全国卷)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝