数学破题36计第34计参数开门宾主谦恭●计名释义参数，顾名思义，是种“参考数”.供谁参考，供主变量参考.因此，参数对于主元，是种宾主关系，他为主元服务，受主元重用.在数学解题的过程中，反客为主，由参数唱主角戏的场景也异常精彩.有趣的是，“参数何在，选谁作参”的问题又成了解题破门的首要问题.此时，你有两种选择，一是参数就立足在面前，由你认定；二是参数根本不在，要你“无中生有”.●典例示范【例1】P、Q、M、N四点都在椭圆x2+=1上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，已知与共线，与共线，且·＝0，求四边形PMQN的面积的最小值和最大值.【分析】四边形“没有”面积公式，因此难以用某边长为参数，建立面积函数式.幸好，它有两条互相垂直的对角线PQ和MN，使得四边形面积可用它们的乘积来表示，然而，它们要与已知椭圆找到关系，还需要一个参数k，并找到PQ，MN对k的依赖式.这就要“无中生有”了.【解答】如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F（0，1），且PQ⊥MN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为k.【插语】题设中没有这个k，因此是“无中生有”式的参数.我们其所以看中它，是认定它不仅能表示|PQ|=f1(k)，还能表示|MN|=f2(k).例1题解图【续解】又PQ过点F（0，1），故PQ方程为y=kx+1，将此式代入椭圆方程得（2+k2)x2+2kx-1=0，设P、Q两点的坐标分别为（x1，y1)，(x2，y2)，则x1=，从而｜PQ｜2＝(x1-x2)2+(y1-y2)2=,亦即|PQ|=.【插语】无论在椭圆方程中，还是P，Q，M，N的坐标中，x,y是当之无愧的主元.而这是新的函数关系|PQ|=f1(k)=标志着主宾易位，问题已经发生了转程.【续解】(ⅰ)当k≠0时，MN的斜率为-，同上可推得，｜MN｜=,故四边形S＝|PQ|·|MN|=.令u=k2+，得S=.因为u=k2+≥2，当k=±1时，u=2，S=，且S是以u为自变量的增函数，所以≤S<2.【插语】以上为本题解答的主干，以下k=0时情况，只是一个小小的补充，以显完善之美.其实，以“不失一般性”为由，设“k≠0”为代表解答亦可.这时，可省去下边的话.【续解】(ⅱ)当k=0时，MN为椭圆长轴，｜MN｜＝2，|PQ|=，S=|PQ|·|MN|=2.综合(ⅰ)(ⅱ)知，四边形PMQN面积的最大值为2，最小值为.【点评】参数k将F(x，y)=0的方程转化为关于k的函数，达到“宾主融融”的和谐境界.参数成为解题化归中的一个重要的角色，有时在“反客为主”中成为主角.【例2】对于a∈［-1,1］,求使不等式恒成立的x的取值范围.【分析】本题化指数不等式为整式不等式是不难的，问题是下一步应当怎样走！你是以x为主，讨论二次不等式？还是以a为主，讨论一次不等式？其难易之分是显而易见的.【解答】y=为R上的减函数，∴由原不等式得：x2+ax>2x+a+1.即a(x-1)+(x2-2x-1)>0当a∈［-1，1］时恒成立.令f(a)=a(x-1)+(x2-2x-1).只须(-∞,-1)∪(3,+∞)即为所求.【例3】求函数y=的最大值与最小值.【解答一】设tan=t，则y=即t2(y-3)-2t+3y-3=0①∵t=tan∈R,∴关于t的方程①必有实数根,∴Δ=4-4·3(y-3)(y-1)≥0.即3y2-12y+8≤0，解得：2-≤y≤2+.即ymax=2+，ymin=2-.【解答二】原式变形：sinx-ycosx=2y-3，sin(x+φ)=2y-3.∵|sin(x+φ)|≤1，∴≤|2y-3|.平方化简得：3y2-12y+8≤0.(下略)【点评】本例中y是x的函数，而且是由三角函数与有理分式复合而成的函数,按常法应是由自变量x的讨论确定函数的值域，可是本例的两种解法都是“反客为主”，或通过转化为关于t的方程必有实数解，或通过正弦函数的有界性去直接处理函数的值域，理由是:这样解法简单，而且同样能达到目的.【例4】若cos2θ+2msinθ-2m-2<0恒成立，试求实数m的取值范围.【解答】反客为主，不看成关于sinθ的二次式，而看成关于m的一次式.原不等式即：2m(sinθ-1)<1+sin2θ,如sinθ=1，则0<1恒成立，此时m∈R.如sinθ≠1，∵sinθ∈［-1,1］，只能sinθ∈［-1,1)，于是sinθ-1<0.∴2m>2-∵(1-sinθ)+≥2.当且仅当1-sinθ=，即sinθ=1-时，=2,∴=2-2.为使2m>恒成立,只