有定二次型的讨论摘要：二次型的理论起源于化二次曲线和二次曲面方程为标准形式的问题。现在，二次型的理论已广泛应用于各个方面，其中有定二次型在工程技术和最优化等问题上有其重要的应用。本文较为系统的讨论了二次型的有定性，即对正定、半正定、负定、半负定二次型的判定给出了若干等价条件及证明，并讨论了正定、半正定、负定、半负定矩阵的若干性质。关键词：正定二次型半正定二次型负定二次型半负定二次型二次齐次多项式在实际工作和理论研究中是一种重要的多项式，它不仅在几何中出现，而且在数学的许多分支以及物理、力学中也常常碰到。通过对二次型的有定性的讨论无论在理论研究方面，或是在实际应用方面都有重要的意义。到目前为止，有关实二次型的正定、半正定、负定、半负定的讨论已有许多，但对二次型的有定性缺乏整体性、系统性的讨论，本文尽可能多的给出了二次型的有定性的判定及相关性质。定义1设A为n阶实对称矩阵，如果对任意非零向量X,实二次型成立，则称二次型为正定(负定)二次型，A称为正定(负定)矩阵。定义2如果对于任意非零向量X，都有成立，则称二次型为半正定(半负定)二次型，A称为半正定(半负定)矩阵。定义3二次型及其矩阵的正定(负定)，半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性；不具有有定性的二次型及其矩阵称为不定的。由定义可知，二次型的有定性与矩阵的有定性是等价的。一正定二次型（一）正定二次型的判定定理1对于n元实二次型，其中A是实对称的，则下列条件等价：(1)是正定的；(2)其正惯性指数等于n；(3)A与单位矩阵E合同；(4)存在可逆的实矩阵P，使；(5)A的特征值都大于零；(6)A的一切顺序主子式(k=1,2,…,n)；(7)存在正定矩阵B使；(8)A的一切主子式都大于0；(9)A为半正定且；证明(1)(2)：设二次型经过非退化实线性替换变成标准形<1>正定当且仅当<1>是正定的，我们知道二次型<1>是正定的当且仅当，，即正惯性指数等于n.(2)(3)：n元实二次型的正惯性指数为n的充要条件是其规范形为，而此规范形的矩阵是单位矩阵E，因而n元实二次型的正惯性指数为n的充要条件A与单位矩阵E合同.(3)(4)：必要性已知A与单位矩阵E合同，所以存在可逆实矩阵P，使.充分性如果有可逆实矩阵P，使，则，所以A与单位矩阵E合同.(1)(5)：对n元实二次型，可以找到一个正交变换X=TY，将其化为平方和，即,其中是矩阵A的特征值，且由(l)(2)可知(1)(5).(1)(6)：必要性已知是正定的，由(1)(5)可知A之特征值皆大于零，从而可知现记，其中为k维列向量，0为(n-k)维零向量,又记，其中B、C、D为块矩阵.且.则即亦正定.设其特征值为，由(1)(5)可知这些特征值皆大于零，从而有，k=1,2,…,n充分性对n作数学归纳法.当n=1时，有，，故充分性成立.现假定论断对于n-1成立，兹证明对于n之情形.设，其中.由(1)(3)，只需证明A合同于单位矩阵.取，则根据充分性条件，，由上式易得.根据归纳假设正定，故存在n-1阶可逆矩阵G，使得.所以再取，则.就立即可得，从而A合同于单位矩阵，因此是正定的.(1)(7)：必要性设A的特征值为，由(1)(5)知，A是实对称的，则存在正交矩阵T使，即其中，.因B为实对称的，且特征值，故B为正定矩阵.充分性，B是正定矩阵，从而B为可逆矩阵，由(1)(3)，得证.(l)(8)：必要性用反证法.设.若存在A的主子式，而，但B是k阶实对称矩阵，从而存在k阶正交矩阵U使.由知B至少有一个特征值小于0，不失一般性，设.令，则，且.令，其中，则，且，这与是正定的假设矛盾.充分性由于A的一切顺序主子式都是它的主子式，故A的一切顺序主子式都大于0，由(l)(6)，得证.(1)(9)：必要性因为是正定的，则A为正定矩阵，而正定矩阵一定是半正定的，且.充分性设A的n个特征值为，由A为半正定可知，又，故.由(l)(5)，得证.由上述正定二次型的判定定理，我们可以解决许多问题：例1t取什么值时，下列二次型是正定的：1）2）解1)二次型的矩阵为因为A的各阶顺序主子式为时原二次型为正定，由此得解上面的不等式组，可得.2)二次型的矩阵为当A的所有顺序主子式都大于零时，即时原二次型为正定的，由此得但此不等式组无解，即不存在t值使原二次型为正定.（二）正定矩阵的性质1若A是正定矩阵，则A的行列式大于零.证明A是正定矩阵，则A与单位矩阵E合同，所以有可逆矩阵C使.两边取行列式，就有.2若A是正定矩阵，则也是正定矩阵.证明如果A正定，由性质1知，因而A可逆，由定理1知存在可逆矩阵T，