2021北京大兴高二（上）期中数学本试卷，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项（1）设𝑎>𝑏，则一定成立的是A.𝑎2>𝑏2B.√𝑎>√𝑏C.1<1D.𝑎+𝑏>2𝑏𝑎𝑏（2）若数列{𝑎𝑛}满足𝑎𝑛+1−𝑎𝑛=𝑛,𝑎1=2,则𝑎4=A.6B.7C.8D.9（3）若𝑎>0,𝑏>0,且𝑎+𝑏=1，则𝑎𝑏的最大值为A.1B.184C.1D.132（4）若数列{𝑎}满足𝑎=1,则{𝑎}的前𝑛项和为𝑛𝑛𝑛(𝑛+1)𝑛A.𝑛−1B.2𝑛−2𝑛C.𝑛𝑛+1𝑛D.2𝑛𝑛+1（5）设𝑥,𝑎,𝑏是任意实数，则“𝑥>𝑎2+𝑏2”是“𝑥>2𝑎𝑏”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件（6）已知地球运行的轨道时焦距为2𝑐,离心率为𝑒的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则地球到太阳的最小距离为A.𝑐𝑒−𝑐B.2𝑐𝑒−2𝑐C.𝑐−𝑐D.2𝑐−2𝑐𝑒𝑒22（7）若椭圆𝑥+𝑦=1(𝑎>𝑏>𝑐)的右焦点𝐹(𝑐,0)关于直线𝑐的对称点在此椭圆上，则该椭圆的离心率为𝑎2𝑏2𝑦=𝑥𝑏A.1B.132C.√3D.√232（8）若𝑎,𝑏是函数𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑚𝑥+𝑛(𝑚<0,𝑛>0)的两个不同的零点，且𝑎,𝑏,−1这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则𝑚+𝑛=A.−3B.-12C.1D.722第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每题5分，共30分。（9）不等式𝑥2<1的解集为.（10）命题”∀𝑎∈𝑅,𝑎2≥0”的否定是.（11）椭圆𝑥2+4𝑦2=16上点的纵坐标的取值范围是.（12）已知数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和𝑆𝑛=𝑛2+𝑡𝑛,且𝑎3=1,则𝑡=.（13）若不等式𝑥2+1>𝑚𝑥对𝑥∈(0,+∞)恒成立，则实数𝑚的取值范围是.（14）定义“等差数列”：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的乘积都等于同一个不为零的常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做等积数列的公积，已知数列{𝑎𝑛}是𝑎1=2,公积为-6的等积数列，则𝑎3=；数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和𝑆𝑛=.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（15）（本小题13分）①已知𝑎>𝑏>0，求证：𝑏+1>𝑏𝑎+1𝑎②已知𝑥>−1，当𝑥取什么值时，𝑥+9𝑥+1的值最小？最小值是多少？（16）（本小题13分）设{𝑎𝑛}是等差数列，𝑎1=−8，且𝑎2+8，𝑎3+6，𝑎4+4成等比数列.（I）求{𝑎𝑛}的通项公式；（II）求{𝑎𝑛}的前𝑛项和𝑆𝑛的最小值；（III）若{𝑏𝑛}是等差数列，{𝑏𝑛}与{𝑎𝑛}的公差不相等，且𝑏5=𝑎5，问{𝑎𝑛}和{𝑏𝑛}中除第5项外，还有序号相同且数值相等的项吗？（直接写出结论即可）（17）（本小题13分）已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2+(2−𝑎)𝑥−2𝑎,𝑎∈𝑅.（I）当𝑎=0时，求𝑓(𝑥)≤0的解集；（II）求使𝑓(𝑥)>0的𝑥的取值范围；（III）写出“函数𝑓(𝑥)在𝑥∈(1,2)上的图象在𝑥轴上方”的一个充分条件.（直接写出结论即可）（18）（本小题13分）已知椭圆𝐶的两个焦点分别是𝐹(−1,0),𝐹(1,0)，且椭圆𝐶经过点3.12（I）求椭圆𝐶的标准方程；(1,)2（II）当𝑚取何值时，直线𝑦=𝑥+𝑚与椭圆𝐶：有两个公共点；只有一个公共点；没有公共点？（19）（本小题14分）设{𝑎}是等比数列，3.𝑛𝑎1=1,𝑎3=4𝑎2（I）求{𝑎𝑛}的通项公式；（II）求𝑎2+𝑎4+𝑎6+···+𝑎2𝑛−2+𝑎2𝑛；（III）在𝑎𝑛和𝑎𝑛+1之间插入𝑛个数，其中𝑛=1,2,3,···,使者𝑛+2个数成等比数列，记插入的𝑛个数的和为𝑆𝑛，求𝑆𝑛的最大值.22（20）（本小题14分）已知椭圆𝐶：𝑥+𝑦=1(𝑎>𝑏>0)经过点𝐴(0,1)，离心率为√6，过原点𝑂的直线𝑙与椭圆𝐶有两个不同的交点𝑃,𝑄.𝑎2𝑏23（I）求椭圆𝐶的长半轴长；（II）求|𝑃𝑄|的最大值；（III）若直线𝐴𝑃，𝐴𝑄分别与𝑥轴交于点𝐸,𝐹，求证∆𝐴𝐸𝑂的面积与∆𝐴𝐹𝑂的面积的乘积为定值.