（共NUMPAGES16页）高中数学竞赛辅导讲座---数列一、学习目标数列是高中数学的重要内容之一，也是高考及高中数学联赛考查的重点。而且往往还以解答题的形式出现，所以我们在复习时应给予重视。近几年的数列试题不仅考查数列的概念、等差数列和等比数列的基础知识、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了学生的各种能力。二、知识要点（一）、数列的基础知识1．数列{an}的通项an与前n项的和Sn的关系它包括两个方面的问题：一是已知Sn求an，二是已知an求Sn；1.1已知Sn求an对于这类问题，可以用公式an=.1.2已知an求Sn这类问题实际上就是数列求和的问题。数列求和一般有三种方法：颠倒相加法、错位相减法和通项分解法。2．递推数列：，解决这类问题时一般都要与两类特殊数列相联系，设法转化为等差数列与等比数列的有关问题，然后解决。（二）、等差数列与等比数列1．定义：数列{an}为等差数列an+1-an=dan+1-an=an-an-1；数列{bn}为等比数列。2．通项公式与前n项和公式：数列{an}为等差数列，则通项公式an=a1+(n-1)d,前n项和Sn==.数列{an}为等比数列，则通项公式an=a1qn-1,前n项和Sn=.3．性质：等差数列若m+n=p+q，则am+an=ap+aq每连续m项的和仍组成等差数列,即Sm,S2m-Sm,S3m-S2m组成等差数列等比数列若m+n=p+q，则aman=apaq每连续m项的和仍组成等比数列，即Sm,S2m-Sm,S3m-S2m组成等比数列（4）函数的思想：等差数列可以看作是一个一次函数型的函数；等比数列可以看作是一个指数函数型的函数。可以利用函数的思想、观点和方法分析解决有关数列的问题。（三）．等差数列与等比数列数列问题的综合性和灵活性如何表现？数列问题的综合性主要表现在1．数列中各相关量的关系较为复杂、隐蔽．2．同一问题中出现有若干个相关数列，既有等差或等比数列，也有非等差，非等比的数列，需相互联系，相互转换．数列问题的灵活性表现在：1．需灵活应用递推公式，通项公式，求和公式，寻求已知与所求的关系，减少中间量计算．2．需灵活选用辅助数列，处理相关数列的关系．三、例题赏析例1已知(b－c)logmx+(c－a)logmy+(a－b)logmz＝0①(1)若a、b、c依次成等差数列，且公差不为0，求证x、y、z成等比数列；(2)若x、y、z依次成等比数列，且公比不为1，求证a、b、c成等差数列．分析判断三个数成等差数列或等比数列的充要条件，一是定义，二是中项公式．证明：（1）∵a、b、c依次成等差数列∴b－c＝－d，c－a＝2d，a－b＝－d（d≠0）代入①得－d（logmx－2logmy+logmz）＝0∵d≠0∴，y2＝xz，可知x、y、z成等比数列．（2）∵x、y、z依次成等比数列∴两边取对数，得logmz－logmy＝logmy－logmx＝logmqlogmz－logmx＝2logmq①式可变为a（logmz－logmy）－b（logmz－logmx）+c（logmy－logmx）＝0即logmq（a－2b+c）＝0∵logmq≠0∴2b＝a+c，可知a、b、c成等差数列．例2数列｛an｝的前n项和Sn＝a·2n+b（nN），则｛an｝为等比数列的充要条件是________．分析应从转化出数列｛an｝的通项公式入手．解：a1＝S1＝2a+b当n≥2时，an＝Sn－Sn－1=(a·2n+b)－(a·2n－1+b)＝a·2n－1由此可知：当a≠0时，a2,a3…,an,…是公比为2的等比数列．∴｛an｝为等比数列的充要条件是a≠0，且2a+b＝a·20，即a≠0，且a+b＝0．例3设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若S7＝56，Sn＝420，an－3＝34，则n＝________．分析将题设的三个数据，利用等差数列的通项公式及前n项和公式，布列出三个关于a1，公差d，项数n的方程，并求解，会使过程复杂化，应设法直接布列关于n的方程解：∵S7＝a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7＝7a4∴由S7＝56，可得a4＝8又a1+an＝a4+an－3＝8+34＝42．∴由Sn＝420，解得n＝20．例4.等差数列中,a3+a7-a10=8,a11-a4=4,求S13解：由求和公式知问题转化为求a7由条件得：a7=12例5.各项均为实数的等比数列{an}的前n项之和为Sn，若S10=10，S30=70，求S40。解记b1=S10,b2=S20-S10,b3=S30-S20,b4=S40-S30.设q是{an}的公比，则b1,b