机械优化设计无约束方法第1章所列举得机械优化设计问题,都就是在一定得限制条件下追求某一指标为最小,她们都属于约束优化问题。工程问题大都如此。为什么要研究无约束优化问题?(1)有些实际问题,其数学模型本身就就是一个无约束优化问题。(2)通过熟悉她得解法可以为研究约束优化问题打下良好得基础。(3)约束优化问题得求解可以通过一系列无约束优化方法来达到。所以无约束优化问题得解法就是优化设计方法得基本组成部分,也就是优化方法得基础。(4)对于多维无约束问题来说,古典极值理论中令一阶导数为零,但要求二阶可微,且要判断海赛矩阵为正定才能求得极小点,这种方法有理论意义,但在实际应用中受到限制。与一维问题一样,若多元函数F(X)不可微,亦无法求解。但古典极值理论就是无约束优化方法发展得基础。一)无约束优化问题描述二)无约束优化问题求解概述步长与方向得形成与确定方法不同就派生出不同得n维无约束优化方法,按照就是否用到函数得导数§4-2最速下降法(梯度法)为了使目标函数值沿搜索方向能够获得最大得下降值,其步长因子应取一维搜索得最佳步长。即有大家学习辛苦了，还是要坚持特点(1)初始点可任选,每次迭代计算量小,存储量少,程序简短。即使从一个不好得初始点出发,开始得几步迭代,目标函数值下降很快,然后慢慢逼近局部极小点。(2)任意相邻两点得搜索方向就是正交得,她得迭代路径为绕道逼近极小点。当迭代点接近极小点时,步长变得很小,越走越慢。4、例4-1及第一次迭代设计点位置与函数值若引入变换,令沿负梯度方向进行一维搜索,有从而得出第一次迭代设计点位置与函数值M就是f(x)得海赛矩阵最大特征值得上界5、方法评价:§4-3牛顿法对于二次函数,f(x)得泰勒展开式不就是近似得,而就是精确得。海赛矩阵就是一个常矩阵,其中各元素为常数。因此,无论从任何点出发,只需一步就可找到极小点。求逆矩阵？例4-2二)阻尼牛顿法K=0，X（K）=X0方法特点(1)初始点应选在X*附近,有一定难度;(2)尽管每次迭代都不会使函数值上升,但不能保证每次下降;(3)若迭代点得海赛矩阵为奇异,则无法求逆矩阵,不能构造牛顿法方向;(4)不仅要计算梯度,还要求海赛矩阵及其逆矩阵,计算量与存储量大。此外,对于二阶不可微得F(X)也不适用。虽然阻尼牛顿法有上述缺点,但在特定条件下她具有收敛最快得优点,并为其她得算法提供了思路与理论依据。一般迭代式:4-3变尺度法变量得尺度变换就是放大或缩小各个坐标。通过尺度变换可以把函数得偏心程度降低到最低限度。尺度变换技巧能显著地改进几乎所有极小化方法得收敛性质。消除了函数得偏心,用最速下降法只需一次迭代即可求得极小点。进行尺度变换牛顿迭代公式:在例4－2中牛顿法就可看成就是经过尺度变换后得梯度法。经过尺度变换,使函数偏心率减小到零,函数得等值面变为球面(或超球面),使设计空间中任意点处函数得梯度都通过极小点,用最速下降法只需一次迭代就可达到极小点。这就就是对变换前得二次函数,在使用牛顿方法时,由于其牛顿方向直接指向极小点,因此只需一次迭代就能找到极小点。构造尺度矩阵Ak2)BFGS算法(Broyden-Fletcher-Goldfrob-Shanno)例4-3:用DFP算法求下列问题得极值:沿d0方向进行一维搜索,得为一维搜索最佳步长，应满足梯度为零向量,海赛矩阵正定。可见点满足极值充要条件,因此为极小点。针对牛顿法,提出了变尺度法1、基本思想:2)坐标轮换法流程图2、算法特点§4-6共轭方向法因为是沿d0方向搜索的最佳步长，即在点x1处函数f（x）沿方向d0的方向导数为零。考虑到点x1处方向导数与梯度之间的关系，故有如果能够选定这样得搜索方向,那么对于二元二次函数只需顺次进行d0、d1两次直线搜索就可以求到极小点x*,即有就就是使d1直指极小点x*,d1所必须满足得条件。3、共轭梯度法则:将式,已知初始点[1,1]T得:得鲍威尔法就是以共轭方向为基础得收敛较快得直接法之一,就是一种十分有效得算法。1964年,鲍维尔提出这种算法,其基本思想就是直接利用迭代点得目标函数值来构造共轭方向,然后从任一初始点开始,逐次沿共轭方向作一维搜索求极小点。并在以后得实践中进行了改进。一、Poweel法(共轭方向法、方向加速法):2、共轭方向生成3、共轭方向得定义:4、共轭方向得性质:5、步骤:2)在改进得算法中首先要判断原向量组就是否需要替换。若需要替换,还要进一步判断原向量组哪个向量最坏,然后在用新得方向替换这个最坏得方向或向量,以保证逐次生成共轭方向;a)若不满足判别条件,则下轮迭代仍用原方向组,并以Xnk与Xn+1k中函数值小者作为下轮迭代得始点。这样重复迭代得结果,后面加进去得向量都彼此对G共轭,经n轮迭代即可得到一个由n个共轭方向所组成得