有关Fibonacci数列及性质的研究摘要：本文由Fibonacci数列的模型展开讨论，推导出数列的通项公式；进而利用数列的递推公式、数学归纳等多种方法，探讨了数列各项之间的联系，归纳总结了数列所具有的14条基本性质，在其基础上，又给出了Fibonacci数列与黄金分割数之间的密切联系，得到了三条重要性质，这些性质无一不体现了数列的变化规律。最后，作为性质的应用，结合例题我们阐述了数列在中学数学教育和社会其他领域的一些应用。关键词：Fibonacci数列;通项公式;性质;黄金分割在现实生活中，我们经常会遇到类似“数列”变化的一系列经济问题，Fibonacci数列出现在我们生活中的方方面面，一些问题不仅可以用Fibonacci数列表示，而且本质上就是Fibonacci数列，可见Fibonacci数列在很多数学分支都有很广泛的应用，因此研究Fibonacci数列非常必要。本文通过探讨Fibonacci数列的性质，进一步掌握数列的数字排列、增减变化、波动趋势等数项之间的变化规律，继而给出一系列与Fibonacci数列相关问题的解决方案，特别是对中学数学教育中，如何让学生巧妙解题具有启发作用。1.Fibonacci数列的由来斐波那契，公元13世纪意大利数学家，在他的著作《算盘书》中记载着这样一个“兔子繁殖问题”：假定有一对大兔子，每一个月可生下一对小兔子，并且生下的这一对小兔子两个月后就具有繁殖能力。假如一年内没有发生死亡，那么，从一对小兔子开始，一年后共有多少对兔子？问题的解答思路：将每个月的兔子总对数列出来即可（需考虑到每个月具有生殖能力的兔子的对数），如下：月份12345678910111213小兔子数（对）101123581321345589大兔子数（对）01123581321345589144兔子总数（对）1123581321345589144233所以一年后（即第13个月初），繁殖的兔子共有233对。仔细观察，可以看出上面列出的兔子对数呈现出一个有趣的变化规律：即从第3个月起，每个月的兔子对数都是前两个月的兔子对数之和，把这些数字按照相同的规律推算到无穷多项，就构成了一列数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，人们就把它称为Fibonacci数列，而将这个数列中的每一项称为“Fibonacci数”。2.生活中常见的Fibonacci数列数学模型:假如我们把设为Fibonacci数列，不难发现数列是由递推关系式：，，……，所给出的一个数列。从而，我们就可以轻而易举地算出两年，三年……以后的兔子数。为了便于探讨该数列具有的若干性质和变化规律，我们首先给出几个与Fibonacci数列相关的数学模型，然后对Fibonacci数列展开讨论。2.1覆盖问题例1用的骨牌覆盖的棋盘，问有多少种不同的覆盖方法？解设有种不同的覆盖方法，将棋盘水平放置，考虑最后一个骨牌的放法：若垂直放置，则有种不同的覆盖方法；若水平放置，则必须与它并排放置另一块骨牌，有种不同的覆盖方法。于是，由加法原理得：，其初值为，因此，。例2用和两种骨牌覆盖的棋盘，问有多少种不同的覆盖方法？解设覆盖方法有种，考虑最后一块骨牌：若是的，则有种覆盖方法；若是的，则有种覆盖方法。所以，，其初值为，，于是，。2.2爬楼梯问题例3某人爬有个台阶的楼梯，一步可以迈一个或两个台阶，问这个人有多少种不同的爬楼方法？解设爬个台阶有种方法。考虑最后一步：若最后一步迈一个台阶，则前个台阶有种方法；若最后一步迈两个台阶，则前个台阶有种不同的方法。于是，由加法原理得：，易知其初值，，从而。2.30-1序列问题例4由0和1组成的序列称为0-1序列，序列中数的个数称为这个0-1序列的长度，若果0100011011是一个长度为10的0-1序列，求长为的0-1序列中任何两个1不相邻的序列的个数。解设这样的序列有个，考虑最后一个数，如果最后一位是0，则只要前位任何两个1不相邻即可，因此，满足要求的序列有个。若最后一位是1，则倒数第二位是0，于是只要前位任何两个1不相邻即可，因此满足要求的序列有个，由加法原理得：，由初值得，当然也可以写成。例5求长为的0-1序列中既不含有010也不含有101的0-1序列的个数。解设这样的序列有个，以0和1结尾的这样的序列的个数分别用和表示。则。以0结尾的序列有如下两种：（1）……00（2）……110第一类中只要前位既无010也无101即可，注意到前位是以0结尾的，所以有个这样的序列；第二类中只要前位无010和101即可，因为前位是以1结尾的，故有个这样的序列；于是有:------①同样，以1结尾的序列有如下两种：（1）……11（2）……001于是有：------②由①+②得：