【高考数学】2024年普通高等学校招生全国统一考试数学真题（北京卷）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合M{x∣4x1},N{x∣1x3},则MN．Z2．已知i1,则Z．i3．求圆x2y22x6y0的圆心到xy20的距离．4．(xx)4的二项展开式中x3的系数为．5．已知向量a,b,则“(ab)(ab)0”是“ab或ab”的条件．π6．已知f(x)sinx,fx1,fx1,xx,则．1212min2S17．记水的质量为d,并且d越大，水质量越好．若S不变，且d2.1,d2.2,则n与nlnn1212的关系为．8．已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为4,4,22,22,求该四棱锥的高.9．已知x,y,x,y是y2x上的点，则下列正确的是()1122yyxxyyA．log1212C．log12xx2222212yyxxyyB．log1212D．log12xx222221210．若集合{y∣yxtx2x,0t1,1x2}表示的图形中，两点间最大距离为d、面积为S,则()A．d3,S1B．d3,S1C．d10,S1D．d10,S1二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.11．已知抛物线y216x,则焦点坐标为．ππ12．已知,,且与的终边关于原点对称，则cos的最大值为．63x213．已知双曲线y21,则过(3,0)且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为．414．已知三个圆柱的体积为公比为10的等比数列．第一个圆柱的直径为65mm,第二、三个圆柱的直径为325mm,第三个圆柱的高为230mm,求前两个圆柱的高度分别为．15．已知Mk∣ab,a,b不为常数列且各项均不相同，下列正确的是．kknn①a,b均为等差数列，则M中最多一个元素；nn①a,b均为等比数列，则M中最多三个元素；nn①a为等差数列，b为等比数列，则M中最多三个元素；nn①a单调递增，b单调递减，则M中最多一个元素．nn三、解答题：共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.316．在ABC中，a7,A为钝角，sin2BbcosB.7(1)求A;(2)从条件①、条件①和条件①这三个条件中选择一个作为已知，求ABC的面积．135①b7；①cosB；①csinA3．142注：如果选择条件①、条件①和条件①分别解答，按第一个解答计分．17．已知四棱锥PABCD,AD//BC,ABBC1,AD3,DEPE2,E是AD上一点，PEAD.(1)若F是PE中点，证明：BF//平面PCD.(2)若AB平面PED,求面PAB与面PCD夹角的余弦值.18．已知某险种的保费为0.4万元，前3次出险每次赔付0.8万元，第4次赔付0.6万元，在总体中抽样100单，以频率估计概率：(1)求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；(2)(i)毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为X,估计X的数学期望；(ii)若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%,已赔偿过的增加20%．估计保单下一保险期毛利润的数学期望．x2y219．已知椭圆方程C:1(ab0),焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过a2b2(0,t)(t2)的直线l与椭圆交于A,B,C(0,1)，连接AC交椭圆于D.(1)求椭圆方程和离心率；(2)若直线BD的斜率为0，求t.20．已知f(x)xkln(1x)在(t,f(t))(t0)处切线为l.(1)若切线l的斜率k1,求f(x)单调区间；(2)证明：切线l不经过(0,0)；(3)已知A(t,f(t)),C(0,f(t)),O(0,0),其中t0,切线l与y轴交于点B．则当2S15S，ACOABO符合条件的A的个数为？(参考数据：1.09ln31.101.60，ln51.61,1.94ln71.95)21．设集合M{(i,j,s,t∣)i{1,2},j{3,4},s{5,6},t{7,8}}.对于给定有穷数列A和序列:,,,,i,j,s,tM,定义变换T:将数列A的第12skkkkki,j,s,t列加1，得到数