2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（北京卷，含解析）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1、若集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A考点：集合的交集运算.2、圆心为且过原点的圆的方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：由题意可得圆的半径为，则圆的标准方程为.考点：圆的标准方程.3、下列函数中为偶函数的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】试题分析：根据偶函数的定义，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B.考点：函数的奇偶性.4、某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有人，则该样本的老年教师人数为（）A．B．C．D．类别人数老年教师中年教师青年教师合计【答案】C【解析】试题分析：由题意，总体中青年教师与老年教师比例为；设样本中老年教师的人数为x，由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等，即，解得.考点：分层抽样.5、执行如图所示的程序框图，输出的的值为（）A．B．C．D．【答案】B考点：程序框图.6、设，是非零向量，“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：，由已知得，即，.而当时，还可能是，此时，故“”是“”的充分而不必要条件.考点：充分必要条件、向量共线.7、某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：四棱锥的直观图如图所示：由三视图可知，平面ABCD，SA是四棱锥最长的棱，.考点：三视图.8、某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）年月日年月日注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每千米平均耗油量为（）A．升B．升C．升D．升【答案】B【解析】试题分析：因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量升.而这段时间内行驶的里程数千米.所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为升，故选B.考点：平均耗油量.二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9、复数的实部为．【答案】-1【解析】试题分析：复数，其实部为-1.考点：复数的乘法运算、实部.10、，，三个数中最大数的是．【答案】【解析】试题分析：，，，所以最大.考点：比较大小.11、在中，，，，则．【答案】【解析】试题分析：由正弦定理，得，即，所以，所以.考点：正弦定理.12、已知是双曲线（）的一个焦点，则．【答案】【解析】试题分析：由题意知，，所以.考点：双曲线的焦点.13、如图，及其内部的点组成的集合记为，为中任意一点，则的最大值为．【答案】7考点：线性规划.14、高三年级位学生参加期末考试，某班位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．从这次考试成绩看，①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是；②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是．【答案】乙、数学【解析】试题分析：①由图可知，甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后；而乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前，故填乙.②由图可知，比丙的数学成绩排名还靠后的人比较多；而总成绩的排名中比丙排名靠后的人数比较少，所以丙的数学成绩的排名更靠前，故填数学.考点：散点图.三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）15、（本小题满分13分）已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最小值．【答案】（1）；（2）.考点：倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期、三角函数的最值.16、（本小题满分13分）已知等差数列满足，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等？【答案】（1）；（2）与数列的第63项相等.【解析】试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用等差数列的通项公式，将转化成和d，解方程得到和d的值，直接写出等差数列的通项公式即可；第二问，先利用第一问的结论得到和的值，再利用等比数列的通项公式，将和转化为和q，解出和q的值，得到的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出n的值，即项