2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．已知集合，，则（）A．B．C．D．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限“”是“曲线过坐标原点”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A．1B．C．D．函数的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线关于轴对称，则（）A．B．C．D．若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A．B．C．D．直线过抛物线的焦点且与轴垂直，则与所围成的图形的面积等于（）A．B．C．D．设关于,的不等式组表示的平面区域内存在点，满足．求得的取值范围是（）A．B．C．D．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．在极坐标系中，点到直线的距离等于若等比数列满足，，则公比；前项和．如图，为圆的直径，为圆的切线，与圆相交于，若，，则，．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是．向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示．若c=λa＋μb（λ，μ∈R），则=．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上．点P到直线CC1的距离的最小值为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（本小题共13分）在中，，，．（=1\*ROMANI）求的值；（=2\*ROMANII）求的值．（本小题共13分）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率；（Ⅱ）设是此人停留期间空气质量优良的天数，求的分布列与数学期望；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）（本小题共14分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，，．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段上存在点，使得，并求的值．（本小题共13分）设为曲线C：在点处的切线．（=1\*ROMANI）求的方程；（=2\*ROMANII）证明：除切点之外，曲线C在直线的下方．（本小题共14分）已知是椭圆上的三个点，O是坐标原点．（=1\*ROMANI）当点是的右顶点，且四边形为菱形时，求此菱形的面积；（=2\*ROMANII）当点不是的顶点时，判断四边形是否可能为菱形，并说明理由．（本小题共13分）已知是由非负整数组成的无穷数列．该数列前项的最大值记为，第项之后各项的最小值记为，．（=1\*ROMANI）若为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意，），写出d1，d2，d3，d4的值；（=2\*ROMANII）设d为非负整数，证明：的充分必要条件为为公差为d的等差数列；（=3\*ROMANIII）证明：若，则的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．