4-1负反馈系统的开环传递函数，试绘制闭环系统的根轨迹。解：根轨迹有3个分支，分别起始于0，-1，-2，终止于无穷远。，。实轴上的根轨迹是（-∞，-2]及[-1,0]。可得，，；是分离点。根轨迹见图4-28。图4-284-2系统的开环传递函数为，试证明点在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益和开环增益。解：若点在根轨迹上，则点应满足相角条件，如图4-29所示。图4-29对于，由相角条件满足相角条件，因此在根轨迹上。将代入幅值条件：所以，，4-3已知开环零点，极点，试概略画出相应的闭环根轨迹图。（1），，，；（2），，；（3），；（4），，，，；解：图4-30（1）图4-30（2）图4-30（3）图4-30（4）4-4设单位反馈控制系统开环传递函数为试概略绘出其闭环根轨迹图（要求确定根轨迹的分离点，起始角和与虚轴的交点）。解：系统有五个开环极点：1.实轴上的根轨迹：2.渐近线：3.分离点：,(舍去),4.与虚轴交点：闭环特征方程为把代入上方程，整理，令实虚部分别为零得：可得，，，（舍去）5.根轨迹的起始角为：由对称性得，另一起始角为，根轨迹如图习题4-31所示。图4-314-5已知单位负反馈控制系统的开环传递函数试作出以b为参量的根轨迹图。解：作等效开环传递函数G(s)=1.实轴上的根轨迹：2.分离点：解得：根轨迹如图4-32所示。图4-324-6单位反馈系统的开环传递函数为试绘制系统根轨迹，确定使系统稳定的值范围。解：根轨迹绘制如下：图4-331.实轴上的根轨迹：2.分离点：可得：3.与虚轴交点：把s=j代入上方程，令解得：根轨迹如图4-6所示。由图可知系统稳定的值范围为；又，所以系统稳定的值范围为。4-7系统的框图如图4-26所示，试绘制以为变量的根轨迹图。图4-26解:系统的开环传递函数为系统闭环传递函数系统闭环特征方程，即除以得得等效开环传递函数令得等效开环极点，为时原系统的闭环极点。按常规根轨迹绘制方法作根轨迹。（1）根轨迹起点：，终点：0，-∞；（2）实轴上根轨迹：（-∞，0]区段；（3）分离点：，，，取，分离角。画出根轨迹如图4-34所示。图4-344-8实系数特征方程要使其根全为实数，试确定参数的范围。解：作等效开环传递函数当时，需绘制常规根轨迹。1.实轴上的根轨迹：，2.渐近线：3.分离点：解得根据以上计算，可绘制出系统根轨迹如图4-35(1)所示。当时，需绘制根轨迹。实轴上的根轨迹区段为：，，。由图4-35(2)可以看出，当时，多项式的根全为实数。因此所求参数的范围为或。因此所求参数的范围为图4-35(1)图4-36(2)4-9已知负反馈系统的闭环特征方程1.绘制系统根轨迹图(0<<∞)；2.确定使复数闭环主导极点的阻尼系数的值。(1)根轨迹的起点为：，，终点在无穷远处（无有限零点）。(2)分支数。(3)实轴上根轨迹为(-∞，-14]区段。(4)渐近线为条。(5)根轨迹离开复极点的出射角由公式根轨迹如图4-37所示图4-372.，按此角过(0,0)点作直线与根轨迹交点，为所求之闭环极点用幅值条件可得():4-10系统的特征方程为1.画出，，，，时的根轨迹。2.求出根轨迹在实轴上没有非零分离会合点时值的范围。解：1）时，特征方程为根轨迹是-1及整个虚轴，见图4-38(a)。，特征方程可写为开环传递函数3支根轨迹，起于0，0，，止于-1和无穷远。渐近线与实轴交角是，交点为，；，在实轴上的分离会合点按下述方法计算。解得当时，实轴上根轨迹是[-1,2]，，(不在根轨迹上，舍去)分离点是1.186，对应的根轨迹见图4-38(b)，实轴上根轨迹是[-6,-1]，是复数，不是实轴上的分离会合点。根轨迹见图4-38(c)，实轴上根轨迹是[-9,-1]对应的。根轨迹见图4-38(d)，实轴上根轨迹是[-10,-1]，，对应的，。根轨迹见图4-38(e)2）当分离会合点不是实数时，系统没有非零分离会合点图3-38(a)图3-38(b)图3-38(c)图3-38(d)图3-38(e)4-11已知某单位反馈系统的开环传递函数为，试绘制系统的根轨迹图，说明其稳定性。如果在负实轴上增加一个零点，对系统的稳定性有何影响，试仍以根轨迹图来说明。解：1.时，(1)根轨迹起始于-1，0，0，终止于三个零点(为无限零点)；(2)根轨迹分支数；(3)实轴上的根轨迹位于（-∞，-1]区段；(4)渐近线条。