华数教育13524602295上名校—走捷径，人民广场八仙商务楼4B10室2011年新知杯上海市初中数学竞赛试题一、填空题（每题10分，共80分）1.已知关于的两个方程：……①，……②，其中.若方程①有一个根是方程②的一个根的3倍，则实数的值是_________。【解析】-22.已知梯形中，则梯形的面积为______。【解析】略3.从编号为1、2、3、4、5、6的六张卡片中任意抽取三张，则抽出的卡片编号都大于2的概率为________.【解析】4.将8个数，-7、-5、-3、-2、2、4、6、13排列为,使得的值最小，则这个最小值为________.【解析】>32,奇偶相同，可以取到34=.5.已知正方形边长为4，分别在上，交于，则四边形的面积为。【解析】【方法一】【方法二】6.在等腰直角三角形中，一点，使得，则边长为____________。【解析】本题的两种方法在我的几何专题中应用多次【方法一】绕C逆时针旋转【方法二】坐标法（略）7.有10名象棋选手进行单循环赛，规定每场比赛胜方得2分，负方得0分，平局各得1分，比赛结束后发现每位选手得分各不同，且第二名的得分是最后五名选手得分之和的，则第二名选手得分是_______。【解析】最后五名选手得分之和为5的倍数，而第一名最多得18分，而最后五名选手之间要比赛10场，则得分总和最少为20分，易知第二名得分为16分.8.已知都是素数（可以相同），并且是35个连续正整数之和，则的最小值为_________.【解析】二、解答题（第9、10题每题15分，第11、12题每题20分，共70分）9.如图，矩形的对角线交于，已知的平分线与交于，直线相交于,直线交于。求证：.【解析】不妨设.10.求所有正整数组【解析】显然当综上所述，满足条件的正整数组为11.①求证：存在整数②是否存在整数？请证明你的结论。【解析】eq\o\ac(○,1)【方法一】，【方法二】显然【方法三】eq\o\ac(○,2).【方法一】不可能为平方数，故原方程无整数解。【方法二】原方程无整数解.12.整数，它的所有不同的素因子为，存在正整数，使得。记，例如.①找出一个正整数，使得；②证明：存在无穷多个正整数，使得【解析】eq\o\ac(○,1)送分eq\o\ac(○,2)由已知由于综上所述，存在无穷多个正整数，使得