科技信息○高校讲台○ＳＣＩＥＮＣＥ＆Ｔ牛茫龋危希蹋希牵?ＩＮＦＯＲＭＡＴＩＯＮ２００７年第１８期整点问题初探宋颖伟（哈尔滨师范大学呼兰学院数学系黑龙江呼兰１５０５００）摘要：本文从高斯函数基本性质出发，讨论它在整点问题上的运用，并运用数形结合的方法，通过整点的性质证明一道关于高斯函数的恒等式。关键词：高斯函数；整点ＩｎｔｅｇｅｒａｌｐｏｉｎｔｐｒｏｂｌｅｍｐｒｉｍａｒｙｓｔｕｄｙＳｏｎｇＹｉｎｇｗｅｉ（１．ＨａｒｂｉｎＮｏｒｍＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，１５０５００；２．ＨａｒｂｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈａｒｂｉｎ，１５００８０）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｓｔａｒｔｉｎｇｗｉｔｈｇａｕｓｓｆｕｎｃｔｉｏｎｂａｓａｌｑｕａｌｉｔｙ，ｅｘｅｒｔｉｏｎｏｆｇａｕｓｓｆｕｎｃｔｉｏｎｏｎｉｎｔｅｇｅｒａｌｐｏｉｎｔｐｒｏｂｌｅｍｉｓｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｉｎａｄｄｉｔｉｏｎ，ｃｏｍｂｉｎｉｎｇｔｈｅｎｕｍｂｅｒａｎｄｔｈｅｇｒａｐｈ，ａｎｉｄｅｎｔｉｔｙａｂｏｕｔｇａｕｓｓｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓｐｒｏｖｅｄｂｙｔｈｅｑｕａｌｉｔｉｅｓｏｆＩｎｔｅｇｅｒａｌｐｏｉｎｔ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｇａｕｓｓｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｉｎｔｅｇｅｒａｌｐｏｉｎｔ整点问题是数论与解析几何相结合的产物。整点是指平面直角坐标系中，横纵坐标都为整数的点，由于整点的这种特殊性，因此，我们可以利用高斯函数的性质去解决整点个数相关的问题，也可以通过整点的性质去解决关于高斯函数恒等式证明的问题。１．预备知识定义１高斯函数是指函数ｆ（ｘ）＝［ｘ］，ｘ∈Ｒ其中［ｘ］表示不超过实它满足［ｘ］≤ｘ＜［ｘ］＋１。ｘ｝＝ｘ－［ｘ］，称之为ｘ的小数记｛数ｘ的最大整数。部分，它满足０≤｛ｘ｝＜１。定理１#ｘ，ｙ∈Ｒ，我们有（ｉ）ｘ＝ｙ，则［ｘ］＝［ｙ］；（ｉｉ）ｘ＜ｙ，则［ｘ］≤［ｙ］；［ｘ］＜［ｙ］，则ｘ＜ｙ；（ｉｉｉ）#ｍ∈Ｚ，有［ｘ＋ｍ］＝［ｘ］＋ｍ，｛ｘ＋ｍ｝＝｛ｘ｝；（ｉｖ）［ｘ］＋［ｙ］≤［ｘ＋ｙ］≤［ｘ］＋［ｙ］＋１，等号有且仅有一个成立。（ｖ）对于ｘ≥０，ｙ≥０，则必有［ｘｙ］≥［ｘ］［ｙ］。（图１）这两个例子都是运用高斯函数的性质去求解整点的个数的问题。但我们不难发现这两个例子也运用了数形结合的方法。接下来我们数形结合讨论高斯函数性质在证明整点问题上的应用及整点问题在证明恒等式中的巧妙运用。我们先来看厄尔密特等式的加强形式是如何利用高斯函数的性质进行证明的。厄尔密特等式是为人熟知的恒等式形式，即２．主要结果我们先看一个简单的例子：例１位于直线ｙ＝２ｘ－１，ｘ＝１０和横坐标轴形成的三角形内部３２和边界上整点有多少个？１［ｍｘ］＝［ｘ］＋ｘ＋２４１，５，３，１３，１７，７，２５，２９，１１，时，ｙ＝０），得到纵坐标为６６２６６２６６２３７。６于是，位于三角形（含边界）中整点个数等于纵坐标的整数部分之和加上位于横坐标轴上的１０个点，即要求的整点数共有：解求函数ｙ＝２ｘ－１，当整数，ｘ＝１，２，…１０的值（注意，当ｘ＝３ｘ＋＋，（%ｍ&…＋%ｍ－１&ｍ∈Ｎ）ｍ３现在给出它的加强形式１ｍ－１ａ［ｘ］＋ｘ＋ａ＋…＋ｘ＋＝［ｍｘ］＋（ｍ－１）（ａ－１）%ｍ&%ｍ&２ａ，ｍ∈Ｎ，（ａ，ｍ）＝１证明加强形式的时候可以直接运用高斯函数的基本性质进行证明，恒等式的证明中多运用它的性质进行证明。例如：证法：设ｎ１，ｎ２∈｛１，２…ｍ－１｝，ｎ１≠ｎ２１５３１３１７７２５２９１１＋＋＋＋＋＋＋＋＋%&%&%&%&%&%&%&%&%&６６２６６２６６２３７＋１０＝３７%&（个）６例２设ｘ１＜ｘ２是实数，ｙ＝ｆ（ｘ），（ｘ１＜ｘ≤ｘ２）是非负连续函数，证明：（ｉ）区域：ｘ１＜ｘ≤ｘ２，０＜ｙ≤ｆ（ｘ）上整点个数Ｍ＝∑［ｆ（ｎ）］，这里变数ｘ１＜ｎ≤ｘ２ｎ取整数值；（ｉｉ）［ｘ１］－［ｘ２］＜Ｍ－∑ｆ（ｎ）≤０ｘ１＜ｎ≤ｘ２ｍｍｎ∵１ａ－ｎ２ａ＝ａ（ｎ１－ｎ２）ｍｍｍ（ａ，ｍ）＝１，ｎ１－ｎ２＜ｍ∴ａ（ｎ１－ｎ２）不可能是整数ｍｎｎｎｎ∴１ａ≠２ａ（１ａ，２ａ?别表示ｎ１ａ和ｎ２ａ的小数部ｍｍｍｍｍｍ先证：ｎ１ａ和ｎ２ａ的小数部分是互异的)*)*)*)*证（ｉ）所说区域的整点，都在这样的直线段上：ｘ＝ｎ，１≤ｙ≤ｆ（ｎ），ｎ是满足ｘ１＜ｎ≤ｘ２的整数。而直线段ｘ＝ｎ，１≤ｙ≤ｆ（ｎ）上的整点数是满足１≤ｙ≤ｆ（ｎ）的整数ｙ的个数，（ｉ）获证。由小数