湖南科技大学本科生毕业设计（论文）-PAGE\*MERGEFORMAT-21--摘要本论文首先讨论了柯西中值定理的四种证明方法；其次对柯西中值定理的应用进行初步探索，列举了其在求极限、不等式与等式的证明等方面的应用.关键词：柯西中值定理；罗尔定理；达布定理；闭区间套定理ABSTRACTThisthesisdiscussedthefirstcauchyvalueofthelawofthefourtypesofprooftothesecondmethod；cauchyvalueofthelawoftheinitialapplicationtoexploreandtoitslimit,inequalitiesandtheequalitythattheapplication.Keywords:Cauchymeanvaluetheorem；Rolletheorem；Daabtheorem；Closeofthetheorem.目录第一章前言………………………………………………………1第二章柯西中值定理的证明……………………………………22.1利用罗尔定理证明柯西中值定理……………………………………22.2利用闭区间套定理证明柯西中值定理………………………………32.3利用反证法证明柯西中值定理………………………………………62.4利用达布定理证明柯西中值定理……………………………………7第三章柯西中值定理的应用……………………………………103.1柯西中值定理在求极限中的应用……………………………………103.2柯西中值定理在证明题中的应用……………………………………113.2.1柯西中值定理在证明不等式中的应用…………………………113.2.2柯西中值定理在证明等式中的应用……………………………123.2.3柯西中值定理在证明连续性中的应用…………………………14第四章总结………………………………………………………16参考文献…………………………………………………………17致谢…………………………………………………………………18第一章前言微分中值定理是微分学中的一个重要定理，它包括罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Larange）中值定理和柯西（Cauchy）中值定理.而柯西中值定理较前两者更具有一般性，其叙述如下：柯西中值定理[1]若与在上可导，且，则在内至少存在一点，使其证明方法的探讨与研究是一个引人注目的问题.本文主要讲解了证明柯西中值定理的四种方法及其应用，这些方法的探讨有利于更好的掌握微分学知识，熟练的运用相关的知识解决实际问题.第二章柯西中值定理的证明本章主要讲解了柯西中值定理的四种证明方法：利用构造辅助函数，根据罗尔定理证明；利用闭区间套定理证明；借助引理，并应用反证法证明；用达布定理和反证法证明.2.1利用罗尔定理证明柯西中值定理罗尔定理[2]设函数在闭区间上连续，在开区间上可导，而且在两端点处函数的值相等，那么在开区间上至少有一点，使得在这点的导数等于零.证明设和分别是在区间上的最大值和最小值.由于在上是连续的，所以的最大值和最小值是存在的.如果等式成立，那么对于一切都有.如果和不能同时成立，那么这两个数中间至少有一个不等于数，为了确切起见，设是这样的数.于是，在开区间的某点，函数达到闭区间上的最大值，因而在这点同时有局部极大值。因为在点的导数存在，所以根据费尔马定理，它等于零.的情况可以类似的讨论.下面证明柯西中值定理证明引入函数这个函数在上显然是连续的，而且在开区间上有导数.此外，.因此根据罗尔定理可以找到这样的点，使得，，即数，否则的话，由于，就应该有.但是根据已知条件.不同时等于零，因此，积，用它除等式的右边，即得所证.2.2利用闭区间套定理证明柯西中值定理证明思路由图1，若、分别表示点，由柯西中值定理条件，应有一族平行于的弦它们运动的极限位置就是曲线在点的切线首先介绍三个引理引理1设函数在上有定义，且在处可导，又为一闭区间套，且，则.证明由于在上连续，在处可导，且,故即等式成立[2].引理2[3]设函数在上连续，则存在，且，使得.证明作辅助函数，显然在上连续.若;若;若,则以上两种情况中任取其一确定.若，则由连续函数的介值定理，在内至少存在一点使，此时，设以上这些情况皆有现在把引理2推广为引理3设，在上连续，且是单射，则存在，且使.下面证明柯西中值定理：证明首先证明，当，且时，有.若，由引理2，存在，且使，从而，在上再次应用引理2有，存在，且，使，从而又有.反复利用引理2，最终可得一个闭区间套，满足，且，由闭区间套定理，存在使.根据引理1得：，这与条件相矛盾.