8中等数学柯西不等式的证明与应用(上)罗增儒(陕西师范大学数学与信息科学学院,710062)(本讲适合高中)论证能力的提高.证明1:由柯西不等式1nnn222∑ai∑bi-∑aibi定理1对任意的两组实数a1,a2,⋯,i=1i=1i=1≥nnnnan和b1,b2,⋯,bn(n2),有22=∑ai∑bj-∑aibi∑ajbjnnni=1j=1i=1j=12ab≤a2b2,nnnn∑ii∑i∑i22i=1i=1i=1=∑∑aibj-∑∑aibiajbji=1j=1i=1j=1当且仅当ai=kbi(k为常数,i=1,2,⋯,n)nnnnnn12222时,上式等号成立.=ab-2abab+ab2∑∑ij∑∑iijj∑∑ji此不等式称为柯西不等式i=1j=1i=1j=1i=1j=1.nn说明1:由于12222=∑∑aibj-2aibiajbj+ajbinnn2i=1j=1“22”nn∑ai=0,∑bi=0,∑aibi=012i=1i=1i=1=aibj-ajbi≥0,2∑∑情况之一出现时,不等式显然成立,因此,在i=1j=1nnn2下面的讨论中不妨设得≤22∑aibi∑ai∑bi.nnni=1i=1i=12≠2≠≠当且仅当(、⋯∑ai0,∑bi0,∑aibi0aibj-ajbi=0ij=1,2,,i=1i=1i=1Z都成立.n)ai=kbi(k为常数,i=1,2,⋯,n)时,上说明2:柯西不等式取等号的条件常常式等号成立.aaa说明:这是最具一般性的配方证法,只用写成比例形式1=2=⋯=n,并约定:分b1b2bn到非负数之和仍为非负数.如果加上一点方母为0时,相应的分子也为0.“等号成立”是程的知识,书写可以节省.柯西不等式应用的一个重要组成部分.n证明当不全为时2构2:bi0,∑bi>0.说明3:使用柯西不等式的方便之处在i=1于,对任意的两组实数都成立.这个不等式告造开口向上的二次函数诉我们任意两组实数n,2f(x)=∑(bix-ai)a1,a2,⋯,an,i=1⋯nnnb1,b2,,bn,Z222f(x)=∑bix-2∑aibix+∑ai.其对应项“相乘”之后“、求和”、再“平方”三种i=1i=1i=1运算不满足交换律,先各自平方,然后求和、由于f(x)≥0对一切x∈R恒成立,故最后相乘,运算的结果不会变小.其判别式nnn1.1n维柯西不等式的证明2Δ22≤=4∑aibi-4∑ai∑bi0,本文提供5个证明,对柯西不等式作多i=1i=1i=1nnn维度的理解希望通过证明本身获得不等式2,即≤22∑aibi∑ai∑bi.i=1i=1i=1收稿日期:2008-07-162008年第11期9nn当且仅当ΔZ方程2=0∑(bix-ai)=0∑|aibi|i=1i=1有实数根x=kZa=kb(k为常数,i=1,2,nnii2·2∑aj∑bj⋯,n)时,上式等号成立.j=1j=1nnna2nb22≤1ii证明对≠且≠由n+n=1.3:∑bi0∑aibi0,2∑∑i=1i=1i=12i=12ajbjnn∑∑j=1j=122nnn∑ai∑bi2i=1i=1≤22故|aibi|aibi,更n∑∑∑2i=1i=1i=1∑aibi有i=1nnnn22222≤aibiaibi.naibjn2∑∑∑∑i=1i=1i=1j=1bi=n+n-1∑∑|ai||bi|i=12i=12当且仅当=,且所有的∑ajbj∑bjnnj=1j=1a2b2n∑i∑i22i=1i=1nai∑bj2Zj=1biaibi同号ai=kbi(k为常数,i=1,2,⋯,n)=∑n+n-1i=122时,上式等号成立.∑ajbj∑bjj=1j=1说明:此证法不依赖于字母组的个数,可n2aibi2以立即作出推广,见定理2.≥用λy≥2∑n-1x+λ2xyi=1证明5:(1)当n=2时,有ab∑jj2222j=1(a1+a2)(b1+b2)=1,22=(a1b1+a2b2)+(a1b2-a2b1)nnn2222≥得≤(a1b1+a2b2).∑aibi∑ai∑bi.i=1i=1i=1当且仅当a1b2-a2b1=0,即ai=kbi(kn2为常数,i=1,2)时,上式等号成立.ai∑bjj=1bi(2)假设当n=k时,命题成立.当且仅当=Zai=nnab2当n=k+1时,有∑jjbj∑k+1k+1j=1j=122aibikbi(k为常数,i=1,2,⋯,n)时,上式等号∑∑i=1i=1成立