用五种方法证明柯西中值定理!黄德丽（湖州师范学院理学院!!"##班浙江湖州$#$%%%）摘&要：从多角度全方面介绍了微分中值定理中柯西中值定理的五种证明方法，其中有利用构造辅助函数，根据罗尔定理证明；利用闭区间套定理证明；借助引理，并应用反证法证明；用达布（’()*+,-）定理和反证法证明；利用坐标旋转变换证明等方法，使柯西中值定理更好的被认识、学习.关键词：柯西中值定理，证明，方法中图分类号：/#01.#&&&&&&文献标识码：2&&&&&&&&&文章编号：#%%!3#0$"（1%%$）4%3%%103%5微分中值定理是微分学中的一个重要定理，它包括罗尔（6+778）定理、拉格朗日（9(:)(;:8）中值定理和柯西（<(,=>?）中值定理!而柯西中值定理较前两者更具有一般性，其叙述如下：柯西中值定理：若（"#）与$（#）在（%，&）上连续，在（%，&）上可导，且$（#）#%，则在（%，&）内至少存在一点!，使（"&）3（"%）"’（!）@!（#）$（&）3$（%）$’（!）其证明方法的探讨与研究是一个引人注目的问题!一般的证明方法是构造辅助函数再根据罗尔定理得证，也有人利用闭区间套定理来证明，还有人利用坐标轴旋转来证明!本文在系统整理关于这一定理的几种证明方法的同时给出了利用达布定理和反证法来证明的方法，这些方法的探讨有利于更好的掌握微分知识，在教学中具有借鉴作用!#&利用罗尔定理证明柯西中值定理罗尔定理：设函数在闭区间［%，&］上连续，在开区间（%，&）上可导，而且在两个端点处函数"的值相等（"（%）@（"&）），那么在开区间（%，&）上至少有一点(，使得"在这点的导数等于零（"’（(）@%）!证明&设)和*分别是"在闭区间［%，&］上的最大值和最小值!由于"在［%，&］上是连续的，所以它们是存在的!如果等式)@*@（"%）成立，那么对于一切#"［%，&］都有"’（#）@%!如果上式不能同时成立，那么)和*这两个数中间至少有一个不等于数（（"%）@（"&））；为了确定起见，设)是这样的数!于是，在开区间（%，&）的某点(，函数"达到闭区间［%，&］上的最大值，因而在这点"同时有局部极大值!因为在点(的导数"’（(）存在，所以根据费尔马定理，它等于零!*#（"%）的情况可以类似地讨论!下面证明柯西中值定理（辅助函数的构造有多种方法，在此不作介绍）证明&引入函数+（#）@［$（&）3$（%）］（"#）3［（"&）3（"%）］$（#），这个函数在［%，&］上显然是连续的，而且在开区间（%，&）上有导数!此外，+（%）@+（&）!因此，根据罗尔定理可以找到这样的点("（%，&），使得，+’（(）@%，即［$（&）3$（%）］"’（(）@［（"&）3（"%）］$’（(）!（1）数"’（(）#%，否则的话，由于（"&）3（"%）#%，就应当有$’（(）@%，但是根据已知条件，"’（(）和$’（(）不同时等于零，因此，积［（"&）3（"%）］"’（(）#%，用它除等式（1）的左右两边，便得所证!万方数据!收稿日期：1%%$3%"3$%!,湖"州"师"范"学"院"学"报"""""""""""""""第!-卷!"利用闭区间套定理证明柯西中值定理引理设函数（）在［，］上有定义，且在（，）处可导，又｛［，］｝为一闭区间套，且#"!"#$"$"#$!%"%%&’!%)%/(，则%&’"%)"$%/(（!"）*（!!）!（&"）)%&’%%’%/("%*!%#引理!"设函数（!"）在［#，$］上连续，则存在［#，$］4［#，$］，且$*#)（$*#），使得####!（）（）!$#*!##（!$）*（!#）)’$#*##$*#现在把引理!推广为：#引理+"设（!"），(（"）在［#，$］上连续，且(（"）是单射，则存在［#，$］4［#，$］，且$*#)（$*#），####!使（）（）!$#*!##（!$）*（!#）（）（）)（）（）’($#*(##($*(#下面证明柯西中值定理：证明"首先证明，当!，""［#，$］，且!#"时，有(（!）#(（"）’#若(（!）)(（"），由引理!，存在［!，"］4［!，"］，且"*!))（"*!），使####!（）（）("#*(!#(（"）*(（!）))$，"#*!#"*!#从而(（"）)(（!）’在［!，"］上再次应用引理!有，存在［!，"］4［!"］，且"*!)（"*!），使####!!##!!!##(（"）*(（!）(（"）*(（!）!!)##)$，"!*!!"#*!#从而又有（）（）反复利用引理，最终可得一个闭区间套｛［，］｝，