.精选范本第六节二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法教学过程：一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程方程ypyqy0称为二阶常系数齐次线性微分方程其中p、q均为常数如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解那么yC1y1C2y2就是它的通解我们看看能否适当选取r使yerx满足二阶常系数齐次线性微分方程为此将yerx代入方程ypyqy0得(r2prq)erx0由此可见只要r满足代数方程r2prq0函数yerx就是微分方程的解特征方程方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程特征方程的两个根r1、r2可用公式求出特征方程的根与通解的关系(1)特征方程有两个不相等的实根r1、r2时函数、是方程的两个线性无关的解这是因为函数、是方程的解又不是常数因此方程的通解为(2)特征方程有两个相等的实根r1r2时函数、是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解这是因为是方程的解又所以也是方程的解且不是常数因此方程的通解为(3)特征方程有一对共轭复根r1,2i时函数ye(i)x、ye(i)x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解函数yexcosx、yexsinx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解函数y1e(i)x和y2e(i)x都是方程的解而由欧拉公式得y1e(i)xex(cosxisinx)y2e(i)xex(cosxisinx)y1y22excosxy1y22iexsinx故excosx、y2exsinx也是方程解可以验证y1excosx、y2exsinx是方程的线性无关解因此方程的通解为yex(C1cosxC2sinx)求二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy0的通解的步骤为第一步写出微分方程的特征方程r2prq0第二步求出特征方程的两个根r1、r2第三步根据特征方程的两个根的不同情况写出微分方程的通解例1求微分方程y2y3y0的通解解所给微分方程的特征方程为r22r30即(r1)(r3)0其根r11r23是两个不相等的实根因此所求通解为yC1exC2e3x例2求方程y2yy0满足初始条件y|x04、y|x02的特解解所给方程的特征方程为r22r10即(r1)20其根r1r21是两个相等的实根因此所给微分方程的通解为y(C1C2x)ex将条件y|x04代入通解得C14从而y(4C2x)ex将上式对x求导得y(C24C2x)ex再把条件y|x02代入上式得C22于是所求特解为x(42x)ex例3求微分方程y2y5y0的通解解所给方程的特征方程为r22r50特征方程的根为r112ir212i是一对共轭复根因此所求通解为yex(C1cos2xC2sin2x)n阶常系数齐次线性微分方程方程y(n)p1y(n1)p2y(n2)pn1ypny0称为n阶常系数齐次线性微分方程其中p1p2pn1pn都是常数二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去引入微分算子D及微分算子的n次多项式L(D)=Dnp1Dn1p2Dn2pn1Dpn则n阶常系数齐次线性微分方程可记作(Dnp1Dn1p2Dn2pn1Dpn)y0或L(D)y0注D叫做微分算子D0yyDyyD2yyD3yyDnyy(n)分析令yerx则L(D)yL(D)erx(rnp1rn1p2rn2pn1rpn)erxL(r)erx因此如果r是多项式L(r)的根则yerx是微分方程L(D)y0的解n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程L(r)rnp1rn1p2rn2pn1rpn0称为微分方程L(D)