论文分类号密级：无吉林师范大学博达学院毕业论文（设计）整系数多项式的有理根的定理及求解方法系别&专业：数学系-数学与应用数学专业姓名&学号：刘玉丽0934118年级&班别：2009级1班教师&职称：张洪刚2012年9月1日摘要：整系数多项式在多项式的研究中占有重要的地位，其应用价值也越来越被人们所认识。本文是关于整系数多项式有理根的求解的一个综述，希望能够给对整系数多项式感兴趣的朋友提供一定的参考。本文根据相关文献资料，给出了关于整系数多项式有理根的较为系统的求法。求解整系数多项式的有理根时，首先要判定整系数多项式是否存在有理根。若存在，则可利用求解有理根的方法法将所有可能的有理根求出。为了简化求解过程，可以先运用本文中的相关定理，将可能的有理根的范围尽量缩小，然后再用综合除法进行检验，进而求出整系数多项式的全部有理根。关键词：整系数多项式；有理根的求法；有理根的判定Abstract：Integralcoefficientspolynomialplaysanimportantroleintheresearchofpolynomial,anditsapplicationvaluewillbeknownbymoreandmorepeople.Thisarticleisaboutsolvingofrationalrootofintegralcoefficientspolynomial,andIhopethiscanprovidesomereferencestopeopleinterestedinthis.Therearesomesystematicmethodsofrationalrootofintegralcoefficientspolynomialinsomerelateddocumentliterature.Andbywhich,weknowwemustmakesureintegralcoefficientspolynomialf(x)hasrationalrootwhenwewanttosolvetherationalrootofintegralcoefficients.Ifitexists,wecangetallthepossiblerationalroots.However,inordertomaketheprocedureeasier,wecanapplytherelatedtheoreminthisarticleandnarrowdowntheextent.Andthenwecantestifythemandgetalltherationalroots.Keywords:Integralcoefficientspolynomialmethodtosolverationalrootsjudgmentofrationalroots第一章整系数多项式的基本内容【1】本节给出了整系数多项式的基本定理----高斯(Gauss)引理。定义1[1]如果一个多项式，其所有系数都是整数，就称此多项式为整系数多项式。定义2如果一个非零的整系数多项式的系数没有异于的公因子，也就是说，它们是互素的，它就称为一个本原多项式。下面的重要结果，称为高斯引理，是研究整系数多项式的基础。定理1.1（高斯引理）两个本原多项式的乘积还是本原多项式。证明设是两个本原多项式，而不是本原的，也就是说，的系数有一异于的公因子，那么就有一个素数能整除的本原的，所以不能同时整除是第一个不能被整除的系数，即.同样地，也是本原的，令是第一个不能被整除的系数，即我们来看的系数，由乘积定义由上面的假设，整除等式左端的，整除右端.这是不可能的.这就证明了，定理1.2如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.推论设，是整系数多项式，且=，其中是有理系数多项式，那么一定是整系数的.第二章整系数多项式有理根的重要定理在高等代数中，关于整系数有理根的问题，有如下定理：[1]设是一个整系数多项式,而是的一个有理根,其中r,s互素,那么必有.特别地，如果的首项系数，那么的有理根都是整根，而且是的因子。证明：因为是的一个有理根,因此在有理数领域上，从而,因为r,s互素，所以，，式中都是整数.令，比较两边系数，即得因此。将代入上式得,由定理2.1的证明过程可得如下定理：定理2.2若是一个次数大于的整系数多项式,如果是的一个有理根,其中是互素的整数,那么若为整系数多项式的整数根,则为常数项的约数,且对于.证明：因为q是整系数多项式的整数根,所以,其中是整系数多项式.,,则有.又,故,所以.当时,.因为是常数项,故为常数项的约数