凸性的分析技巧：CAT-空间(2)作者：程天任前言：本文研究CAT空间，即有界曲率流形的基本群与几何量的关系。另外，我们还考虑了有界曲率流形的微分结构与拓扑结构。在HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/38525.htm"\t"_blank"微分流形以及HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/184827.htm"\t"_blank"黎曼几何中，一个黎曼流形是具有黎曼度量的HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/38525.htm"\t"_blank"微分流形，换句话说，这个流形上配备有一个对称正定的二阶协变张量场，亦即在每一点的切空间上配备一个正定HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/686842.htm"\t"_blank"二次型。给了度量以后，我们就可以像初等几何学中一样，测量长度，面积，体积等量。HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/2218.htm"\t"_blank"爱因斯坦的HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/24909.htm"\t"_blank"广义相对论告诉我们，HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/148429.htm"\t"_blank"引力并不是真正的HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/5767.htm"\t"_blank"力，而是反映空间HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/250223.htm"\t"_blank"扭曲的一个HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/15136.htm"\t"_blank"几何现象。对一个考察者来说，他身处在这个空间里，是无法直接体会到空间扭曲的。但是他可以通过测量自己所处的空间来判断是否存在HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/31260.htm"\t"_blank"空间扭曲，测量的HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/8079.htm"\t"_blank"标准就是所谓的HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/707359.htm"\t"_blank"度量。度量是HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/686979.htm"\t"_blank"内蕴性质。具有度量的空间就称为HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/532712.htm"\t"_blank"黎曼空间。流形上的黎曼度量给定后，我们可以得到一个唯一确定的对称（即无挠）HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/885873.htm"\t"_blank"联络，并且它保持黎曼度量。这个联络称为这个黎曼度量的Levi-Civita联络。有了联络，我们就可以定义HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/550639.htm"\t"_blank"向量场的HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/728469.htm"\t"_blank"协变微分和协变导数，从而建立起流形上的HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/1831905.htm"\t"_blank"微分学。欧氏空间的联络就是通常意义上的向量函数的HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/15986.htm"\t"_blank"微分。另一方面，黎曼度量还诱导出HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/562504.htm"\t"_blank"曲率的概念，它反映了流形的弯曲程度。HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/562504.htm"\t"_blank"曲率处处为零的流形称为HYPERLINK"http://baike.baidu.com/view/357149.htm"\t"_blank"平坦黎曼流形。欧氏空间就是最常见的平坦流形。德国数学家HYPERLINK"http://baike.baidu.com/vie