6中等数学例谈含“abc=1”的条件不等式的证明郑燕平(浙江省金华一中,321015)(本讲适合高中)=(1-A)u2+2u+1.最近,笔者对含“abc=1”的条件不等式令f(u)=(1-A)u2+2u+1.则f(u)在的证明进行了比较深入地探究,有些想法写1成此文,愿与同仁探讨.u0,上是增函数.所以,1+A1降元111+≤f1+a1+b1+A例1设a、b、cR+,且abc=1.证明:211132=.++≤.1+a1+b1+c21+A讲解:直接利用条件abc=1将其降为一令A=v.则元问题很难做到,不过可以先将ab看作一个111整体使三元变为二元,再通过放缩将二元转++1+a1+b1+c化为一元.2v不妨设a≤b≤c,令A=ab.则≤+1+v1+v21c=(A≤1).A22v=+112设u=.则u0,,1+v2(1+v)A1+A1+A+a+22va≤+1+v11+v当且仅当a=A时,u=.21+A123232=-2-+≤.112222故+1+v1+a1+b注:利用降元思想解此类问题,解题过程112=+比较复杂,且只能解决比较简单的情形.另1+aA1+外,笔者发现,例1是第四届中国西部数学奥a[1]112林匹克第8题的一个“源”.题目是:=++1+aAA求证:对任意的正实数a、b、c,都有1+1+A+a+aaabc321<++≤.A2222222+a+a+bb+cc+a2a2=+22AA该题只要通过代换“bc1+A+a+1+A+a+x=2,y=2,aaaba2z=2”,就可转化为例1.收稿日期:2009-06-26修回日期:2009-09-27c©1994-2010ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net2009年第12期7x2y2z2用“”代换++[2(x+y+z)]21y+zz+xx+y≥(x+y+z)2.例2设a、b、cR+,且abc=1.求证:x2y2z2abbcca故++++≤1.y+zz+xx+ya5+b5+abb5+c5+bcc5+a5+ca13≥(x+y+z)≥.讲解:注意到225522a+b-ab(a+b)因此,所证不等式成立.2233=(a-b)(a-b)≥0.xyz312利用a=,b=,c=的分式代换abab·abcyzx则55=55a+b+aba+b+ab·abc例4设a、b、cR+,且abc=1.求证:2222abcabc111[2]=≤++≥1.a5+b5+a2b2ca2b2(a+b)+a2b2c1+2a1+2b1+2cxyzc讲解:设a=,b=,c=(x、y、zR).=.yzx+a+b+c111bca则++同理,≤,1+2a1+2b1+2cb5+c5+bca+b+cyzx=++.caby+2xz+2yx+2z55≤.c+a+caa+b+c由柯西不等式得以上三式相加即得所证不等式.[y(y+2x)+z(z+2y)+x(x+2z)]·当a=b=c=1时,上式等号成立.yzx++y+2xz+2yx+2z3换元≥(x+y+z)2.yzx111故++311利用a=,b=,c=的倒数代换y+2xz+2yx+2zxyz(x+y+z)2≥=1,例3设a、b、cR+,且abc=1.证明:y(y+2x)+z(z+2y)+x(x+2z)1113[2]1113+3+3≥.即++≥1.a(b+c)b(a+c)c(a+b)21+2a1+2b1+2c讲解:所证不等式的左边相对右边而言当且仅当a=b=c=1时,上式等号成立.11注:此题若直接运用柯西不等式,条件有些“头轻脚重”,可以利用a=,b=,xyxabc=1不能直接利用起来.需通过a=,y1c=的倒数换元使其形式上比较“和谐”.yzzb=,c=的分式代换才容易想到利用柯zx111设a=,b=,c=.则xyz=1.西不等式证明.xyz例5设a、b、cR+,且abc=1.求证:易知x+y+z≥3.1113+++≥4.于是,所证不等式化为abca+b+c222xyz3xyz++≥.讲解:设a=,b=,c=(x、y、zR).y+zz+xx+y2yzx+由柯西不等式得不妨设x≥y≥z.则©1994-2010ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cn