4数学通讯2011年第3期(上半月)辅教导学例谈立体几何中不等式问题的证明方法李忠旺(湖南省衡阳市铁一中学,421002)立体几何中的不等式问题具有很强的综合0<BAC<90.性,解决这类问题既要有较强的空间想象能力,又同理可证0<ABC<90,0<ACB<要有严密的逻辑思维能力,因此有一定的难度.下90.面我们介绍几种有关的解题方法.3.利用一元二次方程根的判别式1.利用最小角定理例3已知球O的半径为定值r,它的外切圆例1在直二面角l中,A,B,点锥的全面积为S,求证:S8r2.A,B不全在棱l上,直线AB与平面,所成的角分别为,,求证:+90.图3图1证如图3,作球O的外切圆锥的轴截面证如图1,当AB与,都不垂直时,分别在PAB,设球O与圆锥底面直径AB及母线PA分别,内作ACl于C,BDl于D,则AC,BD切于点E和F.再设AE=AF=t,则由PAE,BAD=,ABC=.22POF,得PE=AE,即(PF+t)-t=t,由最小角定理得ABC<ABD,PFOFPFr+=BAD+ABC<BAD+2r2t由此得PF=22,ABD=90.t-r422t当AB或AB时,易知+=90.S=t+t(PF+t)=22,t-r综上即得+90.即2t4-St2+r2S=0.2.利用三角知识t2为实数,=S2-8r2S0,即S例2已知三棱锥PABC的侧棱PA、PB、2当且仅当时取等号PC两两垂直,求证:0<BAC<90,0<8r,t=2r.利用基本不等式ABC<90,0<ACB<90.4.例4已知三棱锥PABC的侧面PAB、PBC、PCA两两垂直,且这三个侧面与底面ABC所成的二面角分别为、、,求证:coscoscos3.9图2证如图2,则在ABC中,由余弦定理得222cosBAC=AB+AC-BC2ABAC222222=(PA+PB)+(PA+PC)-(PB+PC)2ABACPA2=>0,ABAC图4辅教导学数学通讯2011年第3期(上半月)5证如图由题设易得平面在4,CPPAB,再令g(x)=xcosx-sinx(0<x<),则侧面PAB内,过点P作PEAB于E,则CE2AB,CEP=.设PA=a,PB=b,PC=c,g(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx<0.abg(x)在(0,)上为减函数,故g(x)<则PE=,2a2+b2g(0)=0,即xcosx-sinx<0,从而,当0<x<222abCE=c+22时,有f(x)<0,f(x)在(0,)上也为减函a+b22a2b2+b2c2+c2a2=,数.a2+b20<<<,sin>sin,即2cos=ab.a2b2+b2c2+c2a2sin>sin同理,cos=bc,222222ab+bc+ca由、两式可得r>Rcacos=.a2b2+b2c2+c2a22R<2rl大<l小.26.利用平面几何知识coscoscos=(abc)(a2b2+b2c2+c2a2)3例6已知P、Q是正四面体ABCD内部的2两点,求证:PAQ<60.(abc)3(3a2b2b2c2c2a2)33=.95.利用函数的单调性例5如图5,A、B是球面O上的两点,O是过A、B的大圆,O1是过A、B的任意小圆,记图6证如图6,过点A、P、Q作正四面体l大为O中劣弧AB的长,记l小为O1中劣弧ABABCD的截面AEF.若E、F都不是BCD的顶的长,求证:l大<l小.点,不妨设E、F分别是棱BD、CD上异于端点的点,此时P、Q两点在AEF内,PAQ<EAF.又ABECBE,AE=CE.而EFC>EDF=60=BCF>ECF,EF<CE=AE.图5同理可得EF<AF,EF是AEF中最小证设OA=R,O1A=r(R>r),AOB=的边,故必有EAF<60,PAQ<EAF2,AO1B=2.<60.在等腰AOB和等腰AO1B中,由OA>若、中有一个是的顶点不妨设点EFBCD,O1A,知0<2<2<,即0<<<.