数学分析竞赛（2005级解答）一、判断题（每题5分，共25分）1、不正确。例：，，，，…。2、不正确。例：。3、正确。若有使，则，当；，当。，。4、不正确。例：。5、正确。可通过定义直接验证。二、证明题（13分）证明：由，有。特别地有，整理得，（1）注意到，故有（2）由（1）和（2）可得以此类推，可得且，所以无界。三、证明题（13分）证明：（i）只须证：，，，有。事实上，任取，。即，因此可取。（ii）只须证：，，，有。事实上，取，，充分大时，，，而。证毕。四、证明题（12分）证明：因为，，故有，使得，于是。另外，，在之间。将分别代入上式，得，，，当时，；当时，。所以（取或），有。五、证明题（12分）证明：（i），于是，得。所以在取极小值。（ii），而，所以在也取极小值。六、证明题（10分）证明：由已知，连续且，故。所以。令，所以，于是。另外，。，所以在连续。七、证明题（15分）证明：，。注意在可积由在连续，，，有。，当充分大时。于是，。