第三章：证明（三）定义平行四边形性质判定等腰梯形性质判定三角形中位线定义性质知识性质点矩形推论性质特殊平行四边形菱形判定性质正方形判定第一节：平行四边形问题1：回忆平行四边形的定义（1）定义：__________________________叫做平行四边形。（2）几何语言表述:∵AB∥CDAD∥BC∴四边形ABCD是平行四边形（3）定义的双重性:具备__________________的四边形，才是平行四边形，问题2：回顾平行四边形的性质及判别条件；能否利用公理和已有的定理证明它们？探索：已知：如图ABCD，求证：AB＝CD，CB＝AD．分析：要证AB＝CD，CB＝AD．我们可以考虑只要证明四条线段所在的两个三角形全等，因此我们可以作辅助线__________________,它将平行四边形分成_________和__________，我们只要证明这两个三角形全等即可得到结论．证明：通过上面的证明，我们可以得到：知识点一：平行四边形的性质及判定1、性质1：平行四边形的对边相等2、性质2：平行四边形的对角相等探索：如图，EFGH中，连接对角线EG、HF，设它们分别交于点O．分别度量OH、OF的长度，你发现它们存在的数量关系是_________________.猜想线段OG、OE之间的数量关系是_______________________.证明你的猜想：由此我们可以得到3、性质3：平行四边形的对角线互相平分探索：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？（1）你能说出你的做法及其道理吗？（2）能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法？你能用文字语言表述出来吗？证明发现的平行四边形的判定方法4、判定1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形已知：求证：证明：5、判定2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。已知：求证：证明：探索：如图，平行四边形HGFE中，HF与GE交与点O，HO=OF,GO=OE,求证：四边形HGFE是平行四边形。由此得到6、判定3：对角线互相平分的四边形是平行四边形题型一：利用平行四边形的性质解题简单：例1：（2011江苏泰州，7，3分）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有A．1组B．2组C．3组D．4组例2：（2011湖南邵阳，7，3分）如图（二）所示，中，对角线AC，BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不正确的是（）A.AC⊥BDB.AB＝CDC.BO=ODD.∠BAD=∠BCD例3、点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有（）A．1个B．2个C．3个D．4个例4、（2011广东广州市，2，3分）已知□ABCD的周长为32，AB=4，则BC=（）.A.4B.12C.24D.28中等：例1、（2011重庆市潼南,9,4分）如图，在平行四边形ABCD中(AB≠BC)，直线EF经过其对角线的交点O,且分别交AD、BC于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论：①AO=BO；②OE=OF；③△EAM∽△EBN；④△EAO≌△CNO，其中正确的是A.①②B.②③C.②④D.③④例2、（2011湖南常德，21，7分）如图5，已知四边形ABCD是平行四边形.（1）求证：△MEF∽△MBA；（2）若AF，BE分别为∠DAB、∠CBA的平分线，求证DF=ECA图5BCDEFM例3、（2011四川宜宾,17⑶,5分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F在AC上，G、H在BD上，AF=CE，BH=DG．求证：GF∥HE．HA（17（3）题图）CBDOEGF例4、（2011湖南永州，21，8分）如图，BD是□ABCD的对角线，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F．求证：△ABE≌△CDF．（第21题）难题：例1、（2011四川重庆，9，4分）下面图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第①个图形一共有1个平行四边形，第②个图形一共有5个平行四边形，第③个图形一共有11个平行四边形，……，则第⑥个图形中平行四边形的个数为()……图①图②图③