三角函数的积化和差与和差化积（完整版）资料(可以直接使用，可编辑优秀版资料，欢迎下载）三角函数的积化和差与和差化积一、课标要求：利用两角和与差的正弦、余弦公式推导导出积化和差、和差化积公式，但不要求记忆.二、知识提要：三角函数的积化和差公式：积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得.其中前两个公式可合并为一个：三角函数的和差化积公式：和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是：①其中前两个公式可合并为一个：sin+sin=2sincos②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想.③只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积.④合一变形也是一种和差化积.⑤三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用.积化和差与积差化积是一种孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用.如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算.和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值.正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段.三、典型例题：1．把下列各式化为和或差的形式：解：2．求值：sin6°sin42°sin66°sin78°.解：[法一]sin6°sin42°sin66°sin78°[法二]sin6°sin42°sin66°sin78°3．解：4．求值：cos24°﹣sin6°﹣cos72°解：原式=(sin66°-sin6°)-cos72°=2cos36°sin30°-cos72°=cos36°-cos72°=2sin54°sin18°=2cos36°cos72°==5．求tan20°＋4sin20°的值.6．求值：解：原式====7．已知sin(A+B)=，sin(A-B)=﹣，求值：解：原式=1﹣sin22A﹣sin2B﹣=1﹣sin22A﹣sin2B﹣﹣﹣=﹣sin2B﹣==sin(A+B)sin(A﹣B)=×(﹣)=8．求sin220°+cos280°+sin20°cos80°的值.解：原式==1+(cos160°-cos40°)+sin100°-=-sin100°sin60°+sin100°=9．试证：cos2(A-)+cos2(B﹣)-2cos(A-B)cos(A-)cos(B-)的值与无关.证明：cos2(A-)+cos2(B﹣)-2cos(A-B)cos(A-)cos(B-)=-2cos(A-B)cos(A-)cos(B-)=1+cos(A-B)cos(A+B-2)-2cos(A-B)cos(A-)cos(B-)=1+cos(A-B)[cos(A+B-2)-2cos(A-)cos(B-)]=1+cos(A-B)[cos(A+B-2)-cos(A+B-2)-cos(A-B)]=1-cos2(A-B)=sin2(A-B)∴原式的值只与A-B的值有关，而与的值无关.参考答案：一、单选题1．B2．C3．C4．A5．D6．B7．B8．C9．B二、填充题1．2．3．4．-15．16．115°7．135°8．9．10．<<三角函数>>研究性学习有感三角函数就像我们生活中的兄弟姐妹,与我们相互依存.三角函数在人类社会中无处不在,它冲满了未知和神奇,使人们不断去探索它的同时,也学会了不少的东西.三角函数是以三角型的边角关系为基础,研究几何图形中的数量关系及其在测量方面的应用的数学分支.三角函数在各门科学技术中都有着非常广泛的应用,例如:物理学中弹簧的简谐运动;潮汐;交通等.在我们周围运动着的物质世界里,存在着许多周期性的现象,而三角函数就是描述周期运动的数学模型,它具有良好的性质.知识的海洋是宽广的,仅仅是一个三角函数的讲座,便透露出知识与知识的联结性,密不可分,不但应用与数学研究领域而且并能涉及到现实事物,真是活学活用啊!数学是可以与其它事物联系起来的,用政治学的唯物主义观点在看这些都是具体科学知识建立在一种相互影响,相互制约的联系上的,这种联系使我们测出了旗杆的长度,潮汐的规律并使我们用辨证的眼光又做出了好几种方法去解决相应的一些实际问题.听了这次课受益匪浅,使我对三角函数有了更深刻的理解,三角函数规律的研究对我们来说是永无止境的.因此,要以多种思维方法研究问题,去学习知识,并掌握其技巧,才能明白事情的真理.三角函数有关知识学习有感董明芳数学是一门很有实际用处的学科,在我们平时的生活