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1。定义的理解:函数是一种两个数集元素之间的对应关系(又叫函数关系)这种关系可以用f来表示。函数的表示有列表法,图像法,解析法。已知A={1,2}B={0,3}写出所有从A到B的函数。解:从A到B的函数有:f1:1→0,2→0f2:1→3,2→3f3:1→0,2→3f4:1→3,2→0共4种2。定义域问题:函数定义域是指自变量的取值范围。一个完整的函数不仅要有解析式而且要有定义域。判断两个函数是否相同不仅要看解析式还要看定义域。例如判断y=x/x^2与y=1/x是否为同一函数。解因为它们有相同的定义域,而且解析式x/x^2=1/x,所有是同一函数。抽象函数定义域的求法:三种类型(1)。已知y=f(x)定义域A,求y=f(p(x))定义域B.由x属于A得到p(x)εB解出x即可如已知y=f(x)定义域[0,8]则y=f(x^2-1)定义域的求法为:8>=x^2-1>=0解出3>=x>=1即[1,3](2)。已知y=f(p(x))定义域B求y=f(x)的定义域A因为y=f(p(x))的定义域B令t=p(x)求出x属于B时的t的范围就是y=f(t)的定义域也就是y=f(x)的定义域。如已知y=f(x^2-1)的定义域为[1,3],求y=f(x)定义域解令t=x^2-1,因1<=x<=3所以0<=t<=8y=f(t)的定义域[0,8]y=f(x)定义域[0,8](3)。已知y=f(p(x))求y=f(g(x))的定义域用上边的方法由y=f(p(x))的定义域求出y=f(x)定义域,然后再求出y=f(g(x))定义域3。值域问题;求函数的值域必须看函数的定义域。求函数值域的几种常见方式(1)直接法:利用常见函数的值域来求一次函数y=ax+b(a不等于0)的定义域为R,值域为R;反比例函数的定义域为{x|x≠0},值域为{y|y≠0};二次函数的定义域为R当a>0时,值域为{y|y≥(4ac-b?)/4a};当a<0时,值域为{y|y≤(4ac-b?)/4a}例1.求下列函数的值域①y=3x+2(-1≤x≤1)②y=x?-2x+3解:①∵-1≤x≤1,∴-3≤3x≤3,∴-1≤3x+2≤5,即-1≤y≤5,∴值域是y∈[-1,5]②y=x?-2x+3∵1>0,∴y(min)=(4ac-b?)/4a=[4×1×3-(-2)?]/4×1=1即函数的值域是{y|y≥2}2.二次函数在定区间上的值域(最值):①f(x)=x?-6x+12x∈[4,6]因为对称轴x=-b/2a=-(-6)/2×1=3二次项系数1>0所以f(x)=x?-6x+12在x∈[4,6]是增函数所以f(x)min=f(4)=4f(x)max=f(6)=12f(x)的值域是[4,12]②f(x)=x?-6x+12x∈[0,5]因为对称轴x=-b/2a=-(-6)/2×1=3二次项系数1>0所以f(x)=x?-6x+12在x∈[0,3]是减函数,在x∈(3,5]是增函数所以f(x)min=f(3)=3而f(0)=12f(5)=7,所以f(x)max=f(0)=12f(x)的值域是[3,12](3)察看法求y=(√x)+1的值域∵√x≥0∴√x+1≥1∴y=(√x)+1的值域是[1,+∞)(4)配方式求y=√(x?-6x-5)的值域∵-x?-6x-5≥0可知函数的定义域是[-5,-1]∵-x?-6x-5=-(x+3)?+4因为-5≤x≤-1所以-2≤x+3≤2所以0≤(x+3)?≤4所以-4≤-(x+3)?≤0终于得到0≤-(x+3)?+4≤4所以0≤√(x?-6x-5)≤2所以y=√(x?-6x-5)的值域是[0,2](5).图像法求y=|x+3|+|x-5|的值域解:因为y=-2x+2(x<-3)y=8(-3≤x<5)y=2x-2(x≥5)自己画图像由图可知y=|x+3|+|x-5|的值域是[8,+)(6)判别式法求y=1/(2x?-3x+1)解∵2x?-3x+1≠0∴函数的定义域是{x|x∈R,且x≠1,x≠1/2}将函数变形可得2yx?-3yx+y-1=0当y≠0时,上述关于x的二次方程有实数解?=9y?-8y(y-1)≥0所以y≤-8或y≥0当y=0时,方程无解,所以y=0不是原函数的值所以y=1/(2x?-3x+1)的值域是(-∞,-8]∪(0,+∞)(7)换元法求y=2x-√(x-1)的值域解令t=√(x-1)显然t≥0以x=t?+1所以y=2(t?+1)-t=2t?-t+2=2(t-1/4)?+15/8因为t≥0所以y=2x-√(x4。单调性问题:(1)证明函数在指定区间的递增和递减问题证明f(x)=1+x/√x在(0,1〕上是递减的