专题13排列组合与二项式定理【2021年】1．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A．60种B．120种C．240种D．480种【答案】C【分析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有C2种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的5位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有C24!240种不同的分配方案，5故选：C.2．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）1224A．B．C．D．3535【答案】C【分析】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有C15种排法，若2个0不相邻，则有C210种排法，55102所以2个0不相邻的概率为.5103故选：C.【2012年——2020年】y21．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））(x)(xy)5的展开式中x3y3的系数为（）xA．5B．10C．15D．20【答案】C【分析】(xy)5展开式的通项公式为TCrx5ryr（rN且r5）r15y2所以x的各项与(xy)5展开式的通项的乘积可表示为：xy2y2xTxCrx5ryrCrx6ryr和TCrx5ryrCrx4ryr2r155xr1x55在xTCrx6ryr中，令r3，可得：xTC3x3y3，该项中x3y3的系数为10，r1545y2y2在TCrx4ryr2中，令r1，可得：TC1x3y3，该项中x3y3的系数为5xr15x25所以x3y3的系数为10515故选：C2．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是5112111A．B．C．D．16323216【答案】A【分析】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有26情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有C3，所以6C35该重卦恰有3个阳爻的概率为6=，故选A．26163．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为A．12B．16C．20D．24【答案】A【分析】由题意得x3的系数为C32C14812，故选A．444．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II））我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是1111A．B．C．D．12141518【答案】C【详解】：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C245种方法，因为7+23=11+19=13+17=30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有31031种方法，故概率为=，选C.4515255．（2018年全国卷Ⅰ理数高考试题）x2的展开式中x4的系数为xA．10B．20C．40D．80【答案】Cr5r2【详解】：：由题可得TCrx2Cr2rx103rr15x5令103r4,则r2所以Cr2rC2224055故选C.6．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））（2017新课标全国卷Ⅰ理科）1(1)(1x)6展开式中x2的系数为x2A．15B．20C．30D．35【答案】C11【解析】因为(1)(1x)61(1x)6(1x)6，则(1x)6展开式中含x2的项为1C2x215x2，x2x2611(1x)6展开式中含x2的项为C4x415x2，故x2的系数为151530，选C.x2x267．（