二项式定理1．二项式定理：，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做的二项展开式。②二项式系数:展开式中各项的系数.③项数：共项，是关于与的齐次多项式④通项：展开式中的第项叫做二项式展开式的通项。用表示。3．注意关键点：①项数：展开式中总共有项。②顺序：注意正确选择,,其顺序不能更改。与是不同的。③指数：的指数从逐项减到，是降幂排列。的指数从逐项减到，是升幂排列。各项的次数和等于.④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是项的系数是与的系数（包括二项式系数）。4．常用的结论：令令5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即，···②二项式系数和：令,则二项式系数的和为，变形式。③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令，则，从而得到：④奇数项的系数和与偶数项的系数和：⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值。如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。⑥系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来。题型一：求二项展开式1．“”型的展开式例1．求的展开式；解：原式=====小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。2．“”型的展开式例2．求的展开式；分析：解决此题，只需要把改写成的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。3．二项式展开式的“逆用”例3．计算；解：原式=小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。题型二：求二项展开式的特定项求指定幂的系数或二项式系数（1）求单一二项式指定幂的系数例4．（03全国）展开式中的系数是；解：==令则，从而可以得到的系数为：，填求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例5．（02全国）的展开式中，项的系数是；解：在展开式中，的来源有：第一个因式中取出，则第二个因式必出，其系数为；第一个因式中取出1，则第二个因式中必出，其系数为的系数应为：填。求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例6．（04安徽改编）的展开式中，常数项是；解：上述式子展开后常数项只有一项，即本小题主要考查把“三项式”的问题通过转化变型后，用二项式定理的知识解决，考查了变型与转化的数学思想。求中间项例7．（00京改编）求（的展开式的中间项；解：展开式的中间项为即：。当为奇数时，的展开式的中间项是和；当为偶数时，的展开式的中间项是。求有理项例8．（00京改编）求的展开式中有理项共有项；解：当时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式；当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式。求系数最大或最小项特殊的系数最大或最小问题例9．（00上海）在二项式的展开式中，系数最小的项的系数是；解：要使项的系数最小，则必为奇数，且使为最大，由此得，从而可知最小项的系数为一般的系数最大或最小问题例10．求展开式中系数最大的项；解：记第项系数为，设第项系数最大，则有又，那么有即解得，系数最大的项为第3项和第4项。系数绝对值最大的项例11．在（的展开式中，系数绝对值最大项是；解：求系数绝对最大问题都可以将“”型转化为型来处理，故此答案为第4项，和第5项。题型三：利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和例12．（99全国）若，则的值为；解：令，有，令，有故原式===例13．（04天津）若，则；解：，令，有令，有故原式==在用“赋值法”求值时，要找准待求代数式与已知条件的联系，一般而言：特殊值在解题过程中考虑的比较多。例14．设，则；分析：解题过程分两步走；第一步确定所给绝对值符号内的数的符号；第二步是用赋值法求的化简后的代数式的值。解：==0题型四：利用二项式定理求近似值例15．求的近似值，使误差小于；分析：因为=，故可以用二项式定理展开计算。解：==，且第3项以后的绝对值都小于，从第3项起，以后的项都可以忽略不计。==小结：由，当的绝对值与1相比很小且很大时，等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式：，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用