引言混沌现象的发现混沌运动的主要特征看两条轨道是如何分道扬镳的（初值分别为0.506，0.506127）倍周期分岔继续增大参数，当>3，周期一点不再稳定。初值稍有变化，迭代的结果就再也不会回到周期一点1-1/，而出现了周期二。例如：当=时，0.7是周期一点。现用0.669去迭代，就会出现周期二。迭代情况如下：0.669---0.738---0.644---0.764---0.601---0.799---0.545---0.829---0.472---0.830---0.469---0.830---0.470---0.830---0.470……现在，让参数再增大，当=3.449时，周期二解也变的不稳定了，取而代之的是稳定的周期四解。当参数继续增大，使得=3.544时，周期四解又变的不稳定了，取而代之的是稳定的周期八解。一直迭代下去，还会出现周期十六、周期三十二等等。这就是著名的倍周期分岔现象。值得注意的是，周期倍增过程没有限制，可以一直这样分下去，但对应的值却有一个极限,，到达,时，迭代的稳定解是2周期解---周期无穷大，也就是没有周期。所以这时得到的是非周期解，迭代的数据到处乱跑，无法把握，系统进入混沌状态。倍周期分岔产生的混沌，在心脏生理学方面有潜在的应用价值。心律不齐，心肌梗塞这些医学难题，有可能找到正确的答案。倍周期分岔图奇怪吸引子R有源非线性负阻元件,G电导，C1和C2电容。0电路方程组实验仪器介绍实验内容实验现象的观察一实验现象的观察二实验现象的观察三实验现象的观察四混沌和现代科学混沌在现代科技领域的应用举例在通信领域的使用通信在我们的生活中的作用越来越重要,尤其是电子商务的兴起，对保密通信提出了更高的要求。利用混沌进行保密通信是现在十分热门的研究课题。混沌信号最本质的特征是对初始条件极为敏感，并导致了混沌信号的类随机特性。用它作为载波调制出来的信号当然也具有类随机特性。因而，调制混沌信号即使被敌方截获，也很难被破译，这就为混沌应用于保密通信提供了有利条件。因此利用混沌进行保密通信是目前十分热门的研究课题。混沌信号最本质的特征是对初始条件极为敏感，并由此信号又具有整体稳定性,当我们用同一个混沌信号去驱动两个相同的系统时，两个系统的某些部分将产生同步化的行为，这就为混沌应用于保密通信提供了可行性。早在1904年，挪威气象学家Bjerknes就提出天气预报问题应提成大气运动方程组的初值问题。在近年的气象研究中，利用混沌进行中期预报的研究。由于气候系统是非线性系统，其初值问题的数值解是不确定的，研究气候状态的特征就要研究混沌态的特征，研究气候系统的演变机制就要研究混沌态的变化。在这些研究中使用的数学工具主要是分形理论，如分数维、李亚普诺夫指数、标度指数和功率谱指数等。利用这些数学方法分别考察、分析气候状态特征量随控制变量的变化。在数学上把天气(气候)预报问题提成初值问题，即用动力学的方法进行预报，从认识论上讲就是把大气看成是确定论的系统，这在较短的时间尺度内是行得通的，而在时间较长的时候却是有问题的，主要是大气运动是非线性、强迫和耗散的。由这三大特点，可以得到一幅这样的图像：误差是随着时间呈指数增加的，初始场的作用随着时间是衰减的，必须考虑能量的补充和耗散。Lorenz发现了“蝴蝶效应”，指的就是初始场微小的不确定性的指数放大。这就提出了确定论预报的可预报性问题，中期数值天气预报逐日预报的可预报时限大约是两三周左右的时间。也就是说进行长期预报是不可能的。在生物学中的应用生命的整体性，包括：（1）时间上整体，即生命活动的高度有序性；（2）空间上整体，即生命结构和物质相互作用、相互影响形成网络状整体。如形态上，人体结构和功能混沌调节机制（如免疫网络调控、心脏、肺、肠的分形结构学原理，心电的混沌产生与心脏普肯野氏纤维分形分布联系等等。在物质信号相互作用的动力学研究上，其相互作用不仅仅是激活、失活或抑制、促进这一简单的关系，而应包括复杂的数学过程，这种复杂的数学过程应是非线性的，很可能符合混沌原理。这一现象至今尚未有人意识到这一点，但将来肯定会的！当然，想彻底了解生命意义，这条路还很长很长。在经济学中的应用虽然混沌现象的理论和实验研究在物理学、化学、生物学、天体物理、气象学以及神经生理学等广泛领域获得重要进展，但在经济学中遇到严重困难。济活动是人的行为，动力学系统的时间尺度和观察者相近。所以经济主体和经济结构随时间的演变难以忽略。时间序列的非稳态性质使目前常用的稳态时间序列分析方法难以应用。这是为什么经济混沌的研究比自然科学更为困难。目前的研究主要为宏观经济运动，因为发达国家的市场经济周期的观察积累了大量数据(Zarnowit