空间几何体的度量是几何研究的重要内容之一，在生活中有着重要应用的是度量几何体的表面积和体积，如右图，在一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？在实际操作中如何解答呢？1．几何体的体积是几何体占有空间部分的大小，其主要性质有：①完全相同的几何体的体积________；②体积相等的几何体叫________；③两个等积体的几何体的形状________相同；④底面积相等、高相等的两个柱体(或锥体)体积________．2．①棱柱的体积公式：V柱体＝_______(S为底面面积，h为柱体的高)；②棱锥的体积公式：V锥体＝_________(S为底面面积，h为棱锥的高)；③台体的体积公式：V台体＝________(S′、S为两底面面积，h为台体的高)．3．①圆柱的体积公式：V柱体＝________(R为底面圆的半径，h为圆柱的高)；②圆锥的体积公式：V圆锥体＝________(R为底面圆的半径，h为圆锥的高)；③圆台体的体积公式：V圆台体＝______(r、R为两底面圆半径，h为台体的高)．4．球的体积公式：V球＝____(R为球半径)，表面积公式为：S球＝______.棱、锥、台和球的体积公式祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”是推出以上公式的基础，由此我们不难概括出多面体和旋转体的体积性质：①完全相同的几何体的体积相等；②体积相等的几何体叫等积体；③两个等积体的几何体的形状不一定相同；④底面积相等、高相等的两个柱体(或锥体)体积相等，等积转化是今后求相关几何体的体积的重要策略．对于柱、锥、台的体积公式可以从它们间的转化关系上加强记忆：对于球体的体积公式可以类比锥体的体积公式形象地记忆为(4πR2)·R.柱体的体积解析：如右图过侧棱BB′、CC′分别作侧面AC′、AB′的平行平面，DD′是交线；再伸展两底面，得到平行六面体ABDC－A′B′D′C′.∵侧面AA′C′C的面积为S，设此面为底面，则平行六面体BDD′B－ACC′A′的高为a.锥体的体积规律总结：锥体的高实质上是与锥体底面垂直的线段，由前面知识可知，只要一条直线与一个平面的两条相交直线垂直，则它就与这个平面垂直．本例中，由于PA⊥PB且PA⊥PC，而PB与PC相交于点P，所以PA垂直平面PBC，即PA为三棱锥A－PBC的高，从而顺利地求出其体积．本例中，不是先求出以ABC为底面的三棱锥的高，而是把它转化为三棱锥A－PBC的高，这种方法的依据是：三棱锥又称为四面体，它的每一个面都可当做底面来处理．这一方法叫做体积转移法(或称等积法)，随着知识的增多，它的应用越来越广，因此必须熟练掌握．变式训练台体的体积规律总结：(1)求台体体积的常用方法有三：一是利用台体的体积公式来求解，这就需要知道台体的上、下底面积和高；二是抓住台体是由锥体截割而来的这一特征，把它还原成锥体，利用锥体体积公式来求其台体的体积；三是利用割补法来求其体积．(如本例)(2)三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可由锥体的体积求柱体和台体的体积，在立体几何中，割补法是重要的思想方法．变式训练球体的体积规律总结：解决球的体积问题，首先要熟练掌握球的体积公式，它可以想象成以球的半径为半径，球的直径为高的圆柱的体积的三分之二．在求球的体积时，其关键是求球的半径．变式训练球的表面积规律总结：球的轴截面(球的过直径的截面)是将球的问题(立体问题)转化为平面问题(圆的问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题．变式训练有关组合体的表面积和体积解析：如上图，过正方体的对角面ACC1A1作球的截面，则球心为AC1的中点，设正方体的棱长为x，则变式训练方法点拨：(1)本题充分结合图形的特征，强化割补的思想方法，考查多面体体积的计算以及空间想象能力和运算能力．(2)某些立体几何问题，如果直接根据原有的图形解题困难时，那么不妨将此图形巧妙地分割或补形，转化为我们熟悉的柱、锥等比较规则的或易于研究的几何体来处理，从而实现化繁为简、化难为易，便于解决问题．(3)等积转化，亦称等积变换，通常是指用不同的方式求同一几何体的体积(或同一平面图形的面积)．基础巩固能力升级解析：如右图，VA－BPQ：VB－CPQ＝6：2，VB－APQ：VB－CPQ＝S△APQ：S△CPQ＝6：2，类似地VA－DPQ：VC－DPQ＝VD－APQ：VD－CPQ＝S△APQ：S△CPQ＝6：2.其中VC－DPQ＝8.∴VA－DPQ：8＝6：2，∴VA－DPQ＝24，∴VA－BDC＝6＋2＋8＋24＝40.答案：40祝