一、环形二阶倒立摆系统的特点倒立摆系统是理想的自动控制教学实验设备，使用它能全方位的满足自动控制教学的要求。许多抽象的控制概念如系统稳定性、可控性、系统收敛速度、和系统抗干扰能力等，都可以通过倒立摆直观的表现出来。倒立摆系统具有模块性好和品种多样化的优点，不同于直线倒立摆运动平台，环形倒立摆其基本模块旋转运动平台。通过增加一节倒立摆杆和相应的传感器，则可构成一阶环形倒立摆；通过增加两节倒立摆杆和相应的传感器，则可构成两阶环形倒立摆。其控制对象是旋转平台和一节或两节摆杆，目的是让旋转平台能转过特定的角度，并且保持一阶或两节摆杆保持竖直的平衡状态。环形倒立摆系统涉及自动控制、运动控制等专业。对于经典控制理论、现代控制理论等课程，环形倒立摆系统是良好的实验对象，可以通过做实验来检验经典控制理论和现代控制理论的很多问题，包括根轨迹控制、频率响应法，也包括基于状态空间方程的LQR控制、极点配置、模糊控制等等。它能够帮助我们加深对书本中概念的理解。二、板球系统的结构和工作原理Figure.1Figure.2环形二阶系统主要由以下几部分组成，如图Figure1和Figure2所示。包括底座、旋转平台、传感器、摆杆、支撑杆、电机等。旋转平台可以绕轴自由转动带动平台上的支撑杆转动，最后带动末端的摆杆转动，通过控制伺服电机的位置，带旋转平台转动，就可以控制平台的转角及其位置。环形倒立摆系统以角度编码器采集的电机位置信号为反馈信息，编码器反馈的传感方式得到系统的反馈，并以此为依据进行控制，通过转动平台，来控制转动平台的转角位置并保持摆杆直立。我们的目的是设计一个控制器，通过控制电机的转动，使旋转平台稳定在某一位置并保持摆杆直立。另外还需要系统对干扰有一定的鲁棒性。三、环形二阶倒立摆系统的数学模型z1z3yO113yz23O3x11x32y2O2x2Figure.3环形二级倒立摆如Figure.3所示，以水平连接杆所处位置为零势能面，数学模型推导过程如下。需要用到的物理量表示如下：J1:水平杆对Z1轴的转动惯量；J2:下摆杆绕质心的转动惯量；J3:上摆杆绕质心的转动惯量；τ:施加到水平杆上的控制力矩；L1:水平杆的杆长；L2、L3:两摆杆杆长；L2:摆杆质心到转轴O2的距离；L3:摆杆质心到转轴O3的距离；m2、m3：下摆杆的质量、上摆杆的质量；θ1、dθ1:水平连接杆的转角和角速度；θ2、dθ2:一级摆杆（下摆杆）的转角和角速度；θ3、dθ3:二级摆杆（上摆杆）的转角和角速度；c1、c2、c3:水平连接杆、下摆杆和上摆杆的摩擦力矩系数。系统动力学分析（1）水平摆杆的动能、势能、耗散能1TJ21211V10(1)1Dc21211其中:T为动能，V为势能，D为耗散能。（2）连在水平摆杆上的编码器的动能、势能111TmL22mL22123bb11611Va0(2)D0a（3）下摆杆的动能、势能、耗散能以O1x1y1z1坐标系为基准，可以得到下摆杆上任一点在O1x1y1z1坐标系中的坐标表示。O1x1y1z1→O2x2y2z2可以看作坐标系的一个转动和一个平动的叠加。100LL1cos1cos1sin100cos1sin101cos1010LL1sin1sin1cos100sin1cos101sin1o1To2001000100010000100010001将下摆杆上的任一点坐标转化到O1x1y1z1坐标系中的坐标，可以表示为xs20ssin1sin2L1cos1ys2ssin2scos1sin2L1sin1o1To2zs2scos2scos2111对下摆杆上任一点的坐标求导就可以得到该点的速度:xs2s2sin1cos2s1cos1sin2L11sin1yssinsinscoscosLcoss2112212111zss22sin2①
摆杆的动能22ll221mTdT2ds()x2y2z22002s2s2s222l22l21m112(L)2()()2s2s2Ls