3.3勾股定理的简单应用教学目标：1．能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题；2．构造直角三角形及正确解出此类方程；3．运用勾股定理解释生活中的实际问题．教学重点：能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题．教学难点：在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想（把解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题），进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值．要善于运用直角三角形三边关系，关键是根据实际情形准确构造出直角三角形．教学过程：开场白：同学们，前一阶段我们学习了勾股定理，勾股定理在数学研究中具有极其重要的地位，数学大师华罗庚曾经说过：把勾股定理送到外星球，与外星人进行数学交流！咱们今天就来继续体验勾股定理在数学中的应用．投影：把勾股定理送到外星球，与外星人进行数学交流！——华罗庚（设计思路：给学生展现一个美妙的前景，激发学生学习数学的欲望．）交流：1、从远处看，斜拉桥的索塔、桥面与拉索组成许多直角三角形．已知桥面以上索塔AB的高，怎样计算AC、AD、AE、AF、AG的长？（图1）思考，讨论并交流线段的长的计算．（设计思路：巩固复习勾股定理．）2、今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？AOBX(10－X)3解：如图，我们用线段OA和线段AB来表示竹子，其中线段AB表示竹子折断部分，用线段OB来表示竹梢触地处离竹根的距离．设OA＝x，则AB＝10－x，∵∠AOB＝90°，∴OA2＋OB2＝AB2，∴x2＋32＝（10－x）2，（图2）∴OA＝x＝EQEQ\F(91,20)（尺），答：竹子折断处离地面有EQ\F(91,20)尺．（设计思路：进一步加深理解勾股定理．）3、“引葭赴岸”是《九章算术》中另一道题“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ACB解：如图BC为芦苇长，AB为水深，AC为池中心点距岸边的距离．设AB＝x尺，则BC＝（x＋1）尺，根据勾股定理得：x2＋52＝（x＋1）2，解得：x＝12，所以芦苇长为12＋1＝13（尺），答：水深为12尺，芦苇长为13尺．（设计思路：巩固练习．）4、勾股定理与它的逆定理在应用上有什么区别？勾股定理主要应用于求线段的长度、图形的周长、面积；勾股定理的逆定理用于判断三角形的形状．（设计思路：由学生熟悉的情景入手，给学生一个展示才华的机会，增强学生学习数学的兴趣．）实践探索一：ACBD（图4）例1如图4，等边三角形ABC的边长是6，求△ABC的面积．解：作AD⊥BC，∵△ABC是等边三角形，∴BD＝EQ\F(1,2)BC＝EQEQ\F(1,2)×6＝3，在Rt△ABC中，AD＝EQ\R(,AB2－BD2)＝EQ\R(,62－32)＝EQ\R(,27)≈5.196，S△ABC＝EQ\F(1,2)BC·AD≈EQ\F(1,2)×6×5.196＝15.58≈15.6．ACBD（图5）（设计思路：通过学生相互讨论使学生主动参与到学习活动中来，培养学生合作交流精神和发散思维能力，同时拓展学生的知识面．）练习：1．如图5，在△ABC中，AB＝AC＝17，BC＝16，求△ABC的面积2．如图6，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝15，AD＝12，AC＝13，求△ABC的周长和面积．ACBD（图6）实践探索二：1．思考：如图7，在△ABC中，AB＝25，BC＝7，AC＝24，问△ABC是什么三角形？ACB（图7）2．例：如图8，在△ABC中，AB＝26，BC＝20，BC边上的中线AD＝24，求AC．解：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD＝EQ\F(1,2)BC＝EQEQ\F(1,2)×20＝10．∵AD2＋BD2＝576＋100＝676，AB2＝262＝676，∴AD2＋BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，AD垂直平分BC．∴AC＝AB＝26．DACB（图9）3．如图9，在△ABC中，AB＝15，AD＝12，BD＝9，AC＝13，求△ABC的周长和面积．（设计思路：通过学生相互讨论，提高学生的观察分析能力