函数与方程的思想的应用函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考经久不衰的热点和重点。函数的思想，就是用运动和变化的观点、集合对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。方程的思想，就是分析数学问题中的变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。例1设函数区间，集合，则使成立的实数对有（）A．0个B．1个C．2个D．无数个剖析：由知函数为奇函数，图像关于原点对称，又x≥0时，为减函数，可知在R上为减函数。在区间M上，是最大值，是最小值。因此。成立的充要条件是①②得：，即或（1）若，不妨设，代入②得，与矛盾，故ab≠。（2）若成立，等价于a=b=与矛盾。故方程组无解，不存在使成立的实数对，故选A。点评：本题要求能运用函数的单调性和奇偶性来解决数学问题，由函数的单调性来确定闭区间上函数的值域，再由集合相等来确定变量的值。例2已知，试求的值。剖析：有些同学拿到此题的第一感觉，可能会联想到二项式定理，但是仔细观察会发现，与并不是某两个二项式的展开式。至此，不少同学可能会思维受阻。再回到已知，不妨比较一下与对应项的系数，不难发现：x的偶次幂项的系数都相等，而x的奇次幂项的系数互为相反数，这时我们便联想到函数的奇偶性。设，则，∴为偶函数。∴。∵，∴1024.点评：联想是开启数学思维的一把钥匙。本题首先通过相似联想，把已知等式左边的两个因式与二项式定理相联系，产生了一个错误的思路；进而改变思维的方向，深入到问题的本质，把两个因式对应项的系数进行比较，又联想到了函数的奇偶性，这种由表及里的分析，使我们的思维更加深刻，解题经验得到了积累。